1.Długośc jednej z przyprostokątnych trójkąta prostokątnego jest równa 3. Oblicz długośc pozostałych boków trójkąta, jeśli:
a)wysokośc opuszczona na przeciwprostokątną jest równa \(\sqrt{3}\)
b)odcinek dwusiecznej kąta prostego zawarty w trójkącie jest równy \(2 \sqrt{2}\)
2.Podstawą trójkąta równoramiennego ABC jest odcinek AB. Na boku BC isnieje punkt D taki, że |AB|=|AD|=|CD|. Oblicz miary kątów trójkąta ABC.
3.Podstawa AB trójkąta równoramiennego ABC ma długośc 8. Wysokośc CD opuszczona na podstawę równa jest odcinkowi DE łączącemu środek podstawy ze środkiem ramienia. Oblicz długośc ramienia oraz pole tego trójkąta.
4.Promień okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym jest równy 12,5 cm, a promień okręgu wpisanego w ten trójkąt wynosi 3 cm. Oblicz pole tego trójkąta.
Kilka zadań z planimetrii
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
1.
a)
Nazwij trójkąt ABC, gdzie C to wierzchołek kąta prostego. CD to wysokość opuszczona z wierzchołka kąta prostego.
\(|AC|=3\\|CD|=\sqrt{3}\\|AD|=k\\k^2+(\sqrt{3})^2=3^2\\k^2=6\\k=\sqrt{6}\)
Trójkąty ADC i BCD są podobne, z podobieństwa:
\(|BD|=l\\\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}}=\frac{l}{\sqrt{3}}\\(\sqrt{3})^2=\sqrt{6}l\\l=\frac{3}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{2}\)
\(|AB|=c\\c=\sqrt{6}+\frac{\sqrt{6}}{2}=\frac{3\sqrt{6}}{2}\\|BC|=b\\b^2+3^2=(\frac{3\sqrt{6}}{2})^2\\b^2=\frac{54}{4}-9=\frac{18}{4}\\b=\frac{3\sqrt{2}}{2}\)
a)
Nazwij trójkąt ABC, gdzie C to wierzchołek kąta prostego. CD to wysokość opuszczona z wierzchołka kąta prostego.
\(|AC|=3\\|CD|=\sqrt{3}\\|AD|=k\\k^2+(\sqrt{3})^2=3^2\\k^2=6\\k=\sqrt{6}\)
Trójkąty ADC i BCD są podobne, z podobieństwa:
\(|BD|=l\\\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}}=\frac{l}{\sqrt{3}}\\(\sqrt{3})^2=\sqrt{6}l\\l=\frac{3}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{2}\)
\(|AB|=c\\c=\sqrt{6}+\frac{\sqrt{6}}{2}=\frac{3\sqrt{6}}{2}\\|BC|=b\\b^2+3^2=(\frac{3\sqrt{6}}{2})^2\\b^2=\frac{54}{4}-9=\frac{18}{4}\\b=\frac{3\sqrt{2}}{2}\)
b)
Nazwij trójkąt ABC, gdzie C to wierzchołek kąta prostego.
CD to środkowa poprowadzona z wierzchołka kąta prostego
\(|AC|=3\\|CD|=2\sqrt{2}\\| \angle ACD|=| \angle BCD|=45^0\\|AD|=k\)
Z twierdzenia cosinusów dla trójkata ADC:
\(k^2=3^3+(2\sqrt{2})^2-2\cdot3\cdot2\sqrt{2}cos45^0\\k^2=9+8-12\sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}\\k^2=5\\k=\sqrt{5}\)
\(|AB|=c\\| \angle ACD|=\alpha\)
Z twierdzenia sinusów dla trójkąta ACD:
\(\frac{\sqrt{5}}{sin45^0}=\frac{2\sqrt{2}}{sin\alpha}\\sin\alpha=\frac{2\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}{2\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}\)
\(sin^2\alpha=\frac{20}{25}\\cos^2\alpha=1-\frac{20}{25}=\frac{5}{25}\\cos\alpha=\frac{\sqrt{5}}{5}\\cos\alpha=\frac{3}{c}\\\frac{3}{c}=\frac{\sqrt{5}}{5}\\c=\frac{15}{\sqrt{5}}=3\sqrt{5}\\|BC|=b\\b^2+3^2=(3\sqrt{5})^2\\b^2=45-9=36\\b=6\)
Nazwij trójkąt ABC, gdzie C to wierzchołek kąta prostego.
CD to środkowa poprowadzona z wierzchołka kąta prostego
\(|AC|=3\\|CD|=2\sqrt{2}\\| \angle ACD|=| \angle BCD|=45^0\\|AD|=k\)
Z twierdzenia cosinusów dla trójkata ADC:
\(k^2=3^3+(2\sqrt{2})^2-2\cdot3\cdot2\sqrt{2}cos45^0\\k^2=9+8-12\sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}\\k^2=5\\k=\sqrt{5}\)
\(|AB|=c\\| \angle ACD|=\alpha\)
Z twierdzenia sinusów dla trójkąta ACD:
\(\frac{\sqrt{5}}{sin45^0}=\frac{2\sqrt{2}}{sin\alpha}\\sin\alpha=\frac{2\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}{2\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}\)
\(sin^2\alpha=\frac{20}{25}\\cos^2\alpha=1-\frac{20}{25}=\frac{5}{25}\\cos\alpha=\frac{\sqrt{5}}{5}\\cos\alpha=\frac{3}{c}\\\frac{3}{c}=\frac{\sqrt{5}}{5}\\c=\frac{15}{\sqrt{5}}=3\sqrt{5}\\|BC|=b\\b^2+3^2=(3\sqrt{5})^2\\b^2=45-9=36\\b=6\)
2.
Narysuj ten trójkąt. |AB|=|AD|=|CD|=a.
Trójkąty: ABC, ABD, ADC są równoramienne.
Oznacz:
\(| \angle ABC|=| \angle BAC|=| \angle ADB|=\alpha\\| \angle ADC|=180^0-\alpha\\| \angle ACD|=\frac{180^0-180^0+\alpha}{2}=\frac{\alpha}{2}\)
\(| \angle ABC|+| \angle ACB|+| \angle CAB|=180^0\\\alpha+\frac{\alpha}{2}+\alpha=180^0\\\frac{5}{2}\alpha=180^0\\\alpha=72^0\)
Miary kątów trójkąta ABC:
\(72^0,\ \ 72^0,\ \ 36^0\)
Narysuj ten trójkąt. |AB|=|AD|=|CD|=a.
Trójkąty: ABC, ABD, ADC są równoramienne.
Oznacz:
\(| \angle ABC|=| \angle BAC|=| \angle ADB|=\alpha\\| \angle ADC|=180^0-\alpha\\| \angle ACD|=\frac{180^0-180^0+\alpha}{2}=\frac{\alpha}{2}\)
\(| \angle ABC|+| \angle ACB|+| \angle CAB|=180^0\\\alpha+\frac{\alpha}{2}+\alpha=180^0\\\frac{5}{2}\alpha=180^0\\\alpha=72^0\)
Miary kątów trójkąta ABC:
\(72^0,\ \ 72^0,\ \ 36^0\)
3.
Odcinek DE łączy środki boków AB i BC. Jest więc równoległy do boku AC i równy jego połowie.
\(|AC|=|BC|=b\\|DE|=|CD|=\frac{1}{2}b\)
W trójkącie prostokątnym ADC:
\(|AC|=b\\|AD|=4\\|CD|=\frac{1}{2}b\\4^2+(\frac{1}{2}b)^2=b^2\\b^2=16+\frac{1}{4}b^2\\\frac{3}{4}b^2=16\\b^2=\frac{64}{3}\\b=\frac{8}{\sqrt{3}}=\frac{8\sqrt{3}}{3}\)
Pole:
\(P=\frac{1}{2}\cdot8\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{8\sqrt{3}}{3}=\frac{16\sqrt{3}}{3}\)
Odcinek DE łączy środki boków AB i BC. Jest więc równoległy do boku AC i równy jego połowie.
\(|AC|=|BC|=b\\|DE|=|CD|=\frac{1}{2}b\)
W trójkącie prostokątnym ADC:
\(|AC|=b\\|AD|=4\\|CD|=\frac{1}{2}b\\4^2+(\frac{1}{2}b)^2=b^2\\b^2=16+\frac{1}{4}b^2\\\frac{3}{4}b^2=16\\b^2=\frac{64}{3}\\b=\frac{8}{\sqrt{3}}=\frac{8\sqrt{3}}{3}\)
Pole:
\(P=\frac{1}{2}\cdot8\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{8\sqrt{3}}{3}=\frac{16\sqrt{3}}{3}\)
