Granice ciągów

[Svanar]

Oblicz granice ciągu:
1) \(\lim_{n\to \infty } (\frac{n-1}{n-2})^n\) + \(\lim_{n\to \infty } [\frac{\sqrt[3]{n^2}}{\sqrt[3]{n^3-1}}* sin(n^2)]\)
2) \(\lim_{n\to \infty } [n^{\frac{3}{2}}(\sqrt{n^3+1} - \sqrt{n^3-2})]\) + \(\lim_{n\to \infty }(\frac{3n-1}{3n+1})^{n+4}\)

[radagast]

1)
\(\lim_{n\to \infty }( \frac{n-1}{n-2})^n\)=\(\lim_{n\to \infty }(1+ \frac{1}{n-2})^n\)=\(e\)

\(\lim_{n\to \infty} ( \frac{ \sqrt[3]{n^2} }{ \sqrt[3]{n^3-1} })=0\) - pozwolę sobie to potraktować jak rzecz oczywistą

\(a_n=sin(n^2)\)-ograniczony (też oczywiste)

zatem
\(\lim_{n\to \infty} ( \frac{ \sqrt[3]{n^2} }{ \sqrt[3]{n^3-1} })*sin(n^2)=0\)

no i ostatecznie:

\(\lim_{n\to \infty }( \frac{n-1}{n-2})^n\)+\(\lim_{n\to \infty} ( \frac{ \sqrt[3]{n^2} }{ \sqrt[3]{n^3-1} })*sin(n^2)\) = \(e\)

[radagast]

2)

Pierwszy składnik:

\(\lim_{n\to \infty }n^{ \frac{3}{2}} (\sqrt{n^3+1}- \sqrt{n^3-2})\)=

\(\lim_{n\to \infty } \sqrt{n^3} \frac{n^3+1-n^3+2}{ \sqrt{n^3+1} + \sqrt{n^3-2} }\)=

\(\lim_{n\to \infty } \frac{3\sqrt{n^3}}{ \sqrt{n^3+1} + \sqrt{n^3-2} }\)=

\(\lim_{n\to \infty } \frac{3}{ \sqrt{1+ \frac{1}{n^3} } + \sqrt{1- \frac{2}{n^3} } }\) = \(\frac{3}{2}\)

Teraz kolej na drugi składnik:

\(\lim_{n\to \infty } ( \frac{3n-1}{3n+1} )^{n+4}\) =

\(\lim_{n\to \infty } (1- \frac{2}{3n+1} )^{n+4}\) =

\(\lim_{n\to \infty } (1- \frac{2}{3n+1} )^{ \frac{3n+1}{3} }\) =


\(\frac{1}{ \sqrt[3]{e^2} }\)

ostatecznie

\(\lim_{n\to \infty }n^{ \frac{3}{2}} (\sqrt{n^3+1}- \sqrt{n^3-2})\) + \(\lim_{n\to \infty } ( \frac{3n-1}{3n+1} )^{n+4}\) = \(\frac{3}{2} +\frac{1}{ \sqrt[3]{e^2} }\)

[radagast]

Ale sprawdź oba przykłady. Jeśli coś niejasne-pytaj. Mogłam się pomylić

[Svanar]

1)
\(\lim_{n\to \infty }( \frac{n-1}{n-2})^n\)=\(\lim_{n\to \infty }(1+ \frac{1}{n-2})^n\)=\(e\)

Rozumie wszystko oprócz tego jednego przejścia, tzn: tam nie powinno byc:
\(\lim_{n\to \infty }(1+ \frac{1}{n-2})^{n-2}\)=\(e\) i to wtedy jest "e" ? czyli inaczej mówiąc:

\(\lim_{n\to \infty }[(1+ \frac{1}{n-2})^{n-2}]^{\frac{n}{n-2}}\)=\(e\) i teraz w tym nawiasie mamy e

[gpl1260]

\(\frac{n}{n-2}\to 1\) więc nic to nie zmienia.

[radagast]

No właśnie. Ja to wykombinowałam tak:
\(\lim_{n\to \infty }(1+ \frac{1}{n-2} )^n\)=

\(\lim_{n\to \infty }(1+ \frac{1}{n-2} )^{n-2}*(1+ \frac{1}{n-2})^2\)= \(e*1 = e\)

[radagast]

2) jest ciut trudniejsze. Jesli masz potrzebę to pytaj

[Svanar]

W drugim mi ta dwójka "nie pasuje" ;/

[radagast]

Nie wiem , która dwójka. Pierwsza która się pojawia to w czwatrym wierszu pochodzi z tego ze \(\sqrt{1} + \sqrt{1}=2\) ale nie jestem pewna czy o te Co chodzi

[radagast]

Może Ci się jeszcze nie podobać dwójaka z szóstego wiersza. Ona pochodzi stąd, ze 1+1 =2

Najtrudniej będzi mi się wytłumaczyćz dwójki w ósmym wierszu (wykładnik e):

to jest tak: \(\lim_{n\to \infty } (1+ \frac{z}{n})^n\)=\(\lim_{k\to \infty } (1+ \frac{1}{k})^{kz} = e^z\)

tu \(z=-2\)

Więcej dwojek nie znalazłam

[Svanar]

Może Ci się jeszcze nie podobać dwójaka z szóstego wiersza. Ona pochodzi stąd, ze 1+1 =2

Najtrudniej będzi mi się wytłumaczyćz dwójki w ósmym wierszu (wykładnik e):

to jest tak: \(\lim_{n\to \infty } (1+ \frac{z}{n})^n\)=\(\lim_{k\to \infty } (1+ \frac{1}{k})^{kz} = e^z\)

tu \(z=-2\)

tutaj podstawiamy za \(\frac {z}{n}\) \(\to\) \(\frac{1}{k}\)

stąd n = kz i resztę już mam. Dziękuję

[radagast]

Wiesz co Svanar, tez mi sie tam coś nie podoba.
No bo: jeśli za \(- \frac{2}{n}\) podstawimy \(\frac{1}{k}\) to skoro \(n \to \infty\) to \(k \to - \infty\), a to wszystko psuje... coś tam rzeczywiście jest nie tak ale nie wiem co. Może ktoś pomoże. O ile pamietam wynik jest dobry ale z argumentacją juz gorzej

[Galen]

1)
Spróbuj takiego zapisu:
\(\lim_{n\to \infty }( \frac{n-1}{n-2})^2= \lim_{n\to \infty } \frac{(n(1- \frac{1}{n}))^n }{(n(1- \frac{2}{n}))^n }\)
n się uprości,a teraz tw.\(\lim_{n\to \infty } (1+ \frac{a}{n})^n=e^a\)
Otrzymasz:
\(\lim_{n\to \infty } (\frac{1+ \frac{-1}{n})^n }{(1+ \frac{-2}{n})^n }= \frac{e^{-1}}{e^{-2}}=e\)

[radagast]

Mnie właśnie chodzi o dowód tego faktu, ze \(\lim_{n\to \infty }(1+ \frac{a}{n} )^n =e^a\) dla ujemnych a ( w szczególności dla a=-2). Wiem , ze tak jest . Dowód wydawał mi sie prosty ale teraz go jakoś nie widzę.