Trapezy

[ancafe17]

1) różnica miar kątów przeciwległych trapezu równoramiennego wynosi 30 stopni,oblicz miarę kątów trapezu
2)W trapezie równoramiennym ABCD przekątna AC tworzy z ramieniem BC kąt prosty i jest jednocześnie dwusieczną kąta przy wierzchołku A .Oblicz miary kątów trapezu .
3)W trapezie równoramiennym krótsza podstawa ma taka samą długość jak ramie:
a)Wykaż ze przekątne trapezu są dwusiecznymi kątów przy dłuższej podstawie
b)Wiedząc dodatkowo ze stosunek długości podstaw wynosi 1:2,wyznacz miary kątów trapezu
4)Odcinek łączący środki ramion trapezu ma długość 10 cm , a odcinek łączący środki przekątnych ma długość 3 cm, Oblicz długość podstaw trapezu

[bartek]

1.
Suma miar kątów leżących przy tym samym ramieniu dowolnego trapezu jest równa 180° więc:
\(x+x+30=180
2x=150
x=75\)
Miary kątów tego trapezu wynoszą \(75\) i \(105.\)

[bartek]

2.
\(\angle ACB + \angle CAB + \angle ABC= 180
\angle ACB =90 \Rightarrow \angle ABC +\angle CAB=90
\angle ABC = 2\angle CAB \Rightarrow 3\angle CAB=90 \Rightarrow \angle CAB=30
\angle ABC= 2 \cdot 30 \Rightarrow \angle ABC= \angle BAD =60
\angle BCD = \angle ADC = 120\)

[bartek]

3.
a)
Dłuższą podstawę oznaczyłem jako odcinek \(AB\), a ramiona jako odcinki \(AD\) i \(BC\)
\(\angle DAC = \angle DCA =x
\angle ADC=180-2x
\angle BAD + \angle ADC = 180
\angle BAC=y
\angle BAD =x+y
x+y+180-2x=180 \Rightarrow x=y \Rightarrow \angle CAD= \angle BAC\)

b)
Z wierzchołka D opuszczany wysokość, która przetnie dłuższą podstawę w punkcie E.
\(|AD|=x
|AE|= \frac{1}{2}x\)
\(cos \angle DAE= \frac{|AE|}{|AD|}= \frac{1}{2}\)
Szukamy w tablicach trygonometrycznych kąta, którego kosinus wynosi \(\frac{1}{2}\). Jest to kąt o mierze 60 więc:
\(\angle BAD = \angle ABC= 60\) , a \(\angle ADC =\angle BCD =120\)

[Galen]

4)
|AB|=a
|CD|=b
K----środek ramienia AD
L----środek ramienia BC
|KL|=10
M---środek przekątnej AC
P----środek przekątnej BD
|MP|=3
Szukana jest długość podstaw trapezu a i b.
\(\frac{a+b}{2}=10\;\; \Rightarrow \;\;a+b=20\)
\(|KM|+|MP|+|PL|=10\;\;\;|KM|+3+|PL|=10\)
Oznaczamy |KM|=x
\(x+|PL|=7\;\;\; \Rightarrow \;\;|PL|=7-x\)
W trójkącie DAC \(\frac{b}{x}= \frac{2}{1}\;\; \Rightarrow \;\;x= \frac{1}{2} \cdot b\)
w trójkącie DBC \(\frac{b}{7-x}= \frac{2}{1}\;\; \Rightarrow \;\; \frac{b}{7- \frac{1}{2} \cdot b }= \frac{2}{1}
b=14-b\;\; \Rightarrow \;\;2b=14\;\; \Rightarrow \;\;\;b=7\)
\(a+b=20\;\;\; zatem\;\;\; a=13\).