rozklad normalny

[igor234]

Zmienna losowa 𝑋 ~ 𝑁 (95, 𝜎). Ile wynosi wariancja, jeśli wiadomo, że 20% powierzchni pod
krzywą normalną leży na prawo od prostopadłej w 𝑥 = 103,4? Zinterpretować wyniki na wykresach
funkcji gęstości i dystrybuanty


początkowo liczyłem to w taki sposób żę
P(x < 103.4) = 0.8
Φ(8,4 / δ ) = 0.8
8,4 / δ = 0.84
δ = 10
narysowalem dystrybuante i f gestosci
a wykresy standaryzowane dla wartosci owej 0.84


ale uznałem że to trochę licznie "na odwrót" i chciałem policzyć dokładnie jak w treści zadania tzn .

P ( X > 103,4) = 0.2
1 − P( X < 103.4) = 0.2
1 − P (U < (103,4 − 95)/δ )= 0.2
1 − δ(8,4/ δ) = 0.2
δ(−8,4/ δ) = 0.2
−8,4 / δ = - 0.84
δ = 10

dodam tylko że mam tabelkę dla dodatnich i ujemnych wartości taką jak ta https://ibb.co/sgCtXLy

i wszystko sie niby zgadza ale rozumiem że jak chcę narysować wykres standaryzowany to nie zaznaczam tego - 0.84 mimo że tak mam tutaj tylko 0.84 na plusie? Nie brać pod uwagę tego minusa? Czy źle myślę? Bo chciałbym poznać jaka droga jest najbardziej poprawna.

[janusz55]

Pierwszy sposób jest niedobry. Drugi sposób dobry, bo \( 20\% \) powierzchni pod krzywą normalną znajduje się na prawo (nie na lewo) od prostej \( x = 103,4.\)

Standaryzacja - przebiegła pomyślnie.

Odchylenie standardowe \( \sigma = 10.\)

Wariancja \( \sigma^2 = 100.\)

Otrzymaliśmy rozkład normalny zmiennej losowej \( X \sim \mathcal{N}(95, 100) \)

Funkcja gęstości prawdopodobieństwa tego rozkładu ma postać

\( f_{X}(x) = \frac{1}{10\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-95)^2}{2\cdot 100}} \ \ (*)\)

Standaryzując ten rozkład do postaci stablicowanej przez podstawienie \( Z = \frac{X - 95}{10} \)

Geometrycznie oznacza to, przesunięcie w lewo do początku układu współrzędnych \( 0xy \) wykresu \( (*) \) i powinowactwo prostokątne (zwężenie) w skali \( 1:10 \) o osi \( Oy.\)

Otrzymujemy rozkład o gęstości

\( f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{z^2}{2}} \)

i dystrybuancie

\( \phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{x} e^{-\frac{t^2}{2}}dt.\)

Wartości tych dwóch funkcji są stablicowane.

Funkcja gęstości prawdopodobieństwa tego rozkładu jest krzywą dzwonową - symetryczną względem prostej \( m= 0. \)

Wielkość tego przesunięcia \( 0,84 \) zaznaczamy po obydwu stronach osi \( Oy \) czyli \( -0,84, \ \ 0,84. \)

[igor234]

Czyli to będzie coś tego typu?
https://ibb.co/dDs9v4Z
Bo jeśli mam zaznaczac to 20% największych to czy jest sens zaznaczać to -0.84?
Bo moja zagwostka w tym jest taka że mając ten wykres standardyzowany wychodzi z obliczeń że 20% największych jest dla wartości -0.84 i tak jak by na prawo o -0.84 jest tych 20% największych a tak chyba do końca nie jest i tych 20% największych trzeba zaznaczać na prawo od 0.84.
I czy da się coś zaznaczyć na tych osiach tak aby były idealnie podpisane? Czy te pola w funkcjach gęstości mają jakąś określoną wartość w tym zadaniu która mogę podać? Albo czy na osiach OY mogę coś podpisać? Bo potrzebuje takiego skrupulatnego opisu na kolokwium

[janusz55]

Tak. Dopisz -0,84 na wykresie gęstości i zaznacz \( 0,50 \) na wykresie dystrybuanty.

[igor234]

ale na ledwo od -0.84 nic nie mam zaznaczać, tak?

[janusz55]

Przeciągasz asymptotycznie wykres krzywej dzwonowej- Gaussa do osi \( Ox, \) tak jak i wykres dystrybuanty do osi \( Ox \) i do prostej \( y=1.\)

Dokładnie trzeba by było znaleźć współrzędne jej maksimum lokalnego i punktów przegięcia.

[igor234]

aha ale ta czesc ktora mam zaznaczyc w zadaniu to tylko ta po prawej stronie wieksza od 103,4 albo 0.84

[janusz55]

Wykresy gęstości jak dystrybuant zmiennych losowych są różne i nie można ich mylić.

Płaska krzywa dzwonowa o osi symetrii \( x = 95 \) i wysokości \( \frac{1}{10\sqrt{2\pi}}\) oraz \( \sigma = 10 \) jest wykresem gęstości zmiennej losowej \( X\sim\mathcal{N}(95, 10^2). \).

Wykres gęstości tej zmiennej losowej- standaryzowany jest krzywą o osi symetrii \( x= 0 \) i wysokości \( \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \) i \( \sigma = 0,87.\)

Punkt o współrzędnych \( (x, 0) = (103,4,\ \ 0),\) to granica pionowa dwudziesto-procentowego pola powierzchni zawartego pomiędzy krzywą gęstości i osią \( Ox.\)

[igor234]

ok no czyli trzeba zaznaczyć te obszary tylko na prawo od tych punktów

[janusz55]

Tak. Można też zaznaczyć pozostałe osiemdziesięcio-procentowe pola powierzchni.