Dla jakich wartości parametru m funkcja jest ciągła:
\(f(x)= \begin{cases} \dfrac{ \sqrt{x+3}-1 }{2x+4} & \text{dla} & x \neq -2 , x \ge -3\\ m& \text{dla} & x=-2\end{cases}\)
funkcja ciągłą
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
- Jerry
- Expert
- Posty: 3538
- Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
- Podziękowania: 51 razy
- Otrzymane podziękowania: 1943 razy
Re: funkcja ciągłą
W szkole ponadpodstawowej, wg mnie, powinno być
\[ \Lim_{x\to -2} \frac{\sqrt{x+3}-1}{2x+4} = \Lim_{x\to -2} \frac{(\sqrt{x+3}-1)(\sqrt{x+3}+1)}{(2x+4)(\sqrt{x+3}+1)} = \Lim_{x\to -2} \frac{x+3-1}{2(x+2)(\sqrt{x+3}+1)} =\\=\Lim_{x\to -2} \frac{1}{2(\sqrt{x+3}+1)} =\frac{1}{2(\sqrt{1}+1)}={1\over4}\]
i rzeczywiście \(m={1\over4}\).
Pozdrawiam
PS.
\[ \Lim_{x\to -2} \frac{\sqrt{x+3}-1}{2x+4} = \Lim_{x\to -2} \frac{(\sqrt{x+3}-1)(\sqrt{x+3}+1)}{(2x+4)(\sqrt{x+3}+1)} = \Lim_{x\to -2} \frac{x+3-1}{2(x+2)(\sqrt{x+3}+1)} =\\=\Lim_{x\to -2} \frac{1}{2(\sqrt{x+3}+1)} =\frac{1}{2(\sqrt{1}+1)}={1\over4}\]
i rzeczywiście \(m={1\over4}\).
Pozdrawiam
PS.
bad-klick
- Jerry
- Expert
- Posty: 3538
- Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
- Podziękowania: 51 razy
- Otrzymane podziękowania: 1943 razy
Re: funkcja ciągłą
Parametr \(m\) jest związany z argumentem \(x=-2\), stąd nasze zaniedbanie... Przydałby się komentarz:
"Na podstawie znanych faktów funkcja \(f\) jest ciągła na przedziałach \([-3;-2)\) oraz \((-2;+\infty)\)"
Pozdrawiam
"Na podstawie znanych faktów funkcja \(f\) jest ciągła na przedziałach \([-3;-2)\) oraz \((-2;+\infty)\)"
Pozdrawiam
-
- Fachowiec
- Posty: 1611
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 3 razy
- Otrzymane podziękowania: 421 razy
Re: funkcja ciągłą
Dla \( x<-3 \) - pierwiastek kwadratowy funkcji byłby mniejszy od zera. Dla \( x=-2 \) w mianowniku funkcji wystąpiłoby zero,
Dlatego autorzy zadania, podając wzór funkcji określili jej dziedzinę.
\( D_{f} = \{ x\in\rr: x\geq -3 \wedge x \neq -2 \} \)
Ze wzoru funkcji wynika, że nieciągłość występuje w punkcie \( x = -2. \)
W punkcie \( x=-2 \) granica funkcji musi być równa wartości funkcji. Sklejamy wykres funkcji w tym punkcie.
Dlatego autorzy zadania, podając wzór funkcji określili jej dziedzinę.
\( D_{f} = \{ x\in\rr: x\geq -3 \wedge x \neq -2 \} \)
Ze wzoru funkcji wynika, że nieciągłość występuje w punkcie \( x = -2. \)
W punkcie \( x=-2 \) granica funkcji musi być równa wartości funkcji. Sklejamy wykres funkcji w tym punkcie.
-
- Fachowiec
- Posty: 1611
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 3 razy
- Otrzymane podziękowania: 421 razy
Re: funkcja ciągłą
To nie jest "nasze zaniedbanie". Można też określić dziedzinę funkcji jako sumę przedziałów \( [-3, -2)\cup (-2, +\infty) \) i obliczyć granice jednostronne:
\( \Lim_{x\to -2^{-}} \frac{\sqrt{x+3} -1}{2x+4} = \Lim_{x\to -2^{+}} \frac{\sqrt{x+3} -1}{2x+4} = \frac{1}{4} = m.\)
\( \Lim_{x\to -2^{-}} \frac{\sqrt{x+3} -1}{2x+4} = \Lim_{x\to -2^{+}} \frac{\sqrt{x+3} -1}{2x+4} = \frac{1}{4} = m.\)