Zmienna loswa X ma rozkład o gęstości: \(f(x)=\begin{cases}k(x-x^2)&\text{dla}&0\le x\le 1\\ 0&&\text{poza tym}\end{cases}\)
(1)Wyznaczyć stałą \(k\).
(2) Wyznaczyć dystrybuantę \(F(x)\) zmiennej losowej \(X\).
(3) Wyznaczyć \(E(X)\).
(4) Wyznaczyć \( D^2 (X)\).
Znaleźć wartość oczekiwaną \(E(X)\) oraz wariancję \(D^2 (X)\) tej zmiennej losowej.
Rozkład gęstości
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
Zaskronczyk1488
- Witam na forum
- Posty: 6
- Rejestracja: 17 mar 2024, 16:21
- Podziękowania: 1 raz
-
janusz55
- Fachowiec
- Posty: 1572
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 2 razy
- Otrzymane podziękowania: 413 razy
Re: Rozkład gęstości
(1)
Aby funkcja \( f(x) \) była gęstością ciągłej zmiennej losowej \( X \) musi spełniać równanie:
\( 1 = \int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx. \)
\( 1 = \int_{-\infty}^{0} 0 dx + \int_{0}^{1} k(x-x^2)dx + \int_{1}^{\infty} 0dx \)
\(1 = k \int_{0}^{1} (x - x^2)dx = k \left[ \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{3}x^3\right ]_{0}^{1} = k\left (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) = \frac{1}{6}k \)
\( k = 6.\)
Postać zmiennej losowej
\( f(x) = \begin{cases} 6(x-x^2), \ \ 0 \leq x \leq 1 \\ 0, \ \ \text{w pozostałych przypadkach} \end{cases} \)
(2)
Dla \( x<0 \)
\( F(t) = \int_{-\infty}^{x}f(t)dt = \int_{-\infty}^{x} 0 dt = 0.\)
Dla \( 0\leq x < 1 \)
\( F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t)dt = \int_{-\infty} ^{0} 0dt + \int_{0}^{x} 6(t -t^2)dt = 6\left(\frac{1}{2}x - \frac{1}{3}{x^3}\right) = 3x -2x^3.\)
Dla \( x \geq 1 \)
\( F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t)dt = \int_{-\infty} ^{0} 0dt + \int_{0}^{x} 6(t -t^2)dt + \int_{1}^{\infty} 0dt = 0 + \left[3t -2t^3\right]_{0}^{1}+0 = 1.\)
(3)
\( E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} xf(x) dx = \int_{-\infty}^{0}x\cdot 0dx + \int_{0}^{1} 6x(x-x^2)dx + \int_{1}^{\infty}x\cdot 0dx = 6\left[\frac{x^3}{3} -\frac{x^4}{4}\right]_{0}^{1} = 6\left(\frac{1}{3} - \frac{1}{4}\right) = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}.\)
(4)
Wariancja zmiennej losowej \( X \) jest równa różnicy momentu zwykłego rzędu drugiego \( E(X^2)\) i kwadratu momentu zwykłego rzędu pierwszego czyli kwadratu wartości oczekiwanej tej zmiennej:
\( D^(X) = E(X^2) - (E(X))^2 \)
\( E(X^2) = \int_{-\infty}^{\infty} x^2 f(x)dx = \int_{-\infty}^{0}x^2\cdot 0dx + \int_{0}^{1} 6x^2(x-x^2)dx + \int_{1}^{\infty} x^2\cdot 0 dx = 6\left[\frac{x^4}{4} -\frac{x^5}{5}\right]_{0}^{1} = 6\left(\frac{1}{4} - \frac{1}{5}\right) = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}.\)
\( D^2(X) = \frac{3}{10} - \frac{1}{4} = \frac{6}{20} - \frac{5}{20}= \frac{1}{20}.\)
Uwaga
Wariancję zmiennej losowej X jako średniokwadratowe odchylenie od średniej możemy też obliczyć ze wzoru:
\( D^2(X) = \int_{-\infty}^{\infty} (x - E(X))^2 f(x) dx. \)
Aby funkcja \( f(x) \) była gęstością ciągłej zmiennej losowej \( X \) musi spełniać równanie:
\( 1 = \int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx. \)
\( 1 = \int_{-\infty}^{0} 0 dx + \int_{0}^{1} k(x-x^2)dx + \int_{1}^{\infty} 0dx \)
\(1 = k \int_{0}^{1} (x - x^2)dx = k \left[ \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{3}x^3\right ]_{0}^{1} = k\left (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) = \frac{1}{6}k \)
\( k = 6.\)
Postać zmiennej losowej
\( f(x) = \begin{cases} 6(x-x^2), \ \ 0 \leq x \leq 1 \\ 0, \ \ \text{w pozostałych przypadkach} \end{cases} \)
(2)
Dla \( x<0 \)
\( F(t) = \int_{-\infty}^{x}f(t)dt = \int_{-\infty}^{x} 0 dt = 0.\)
Dla \( 0\leq x < 1 \)
\( F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t)dt = \int_{-\infty} ^{0} 0dt + \int_{0}^{x} 6(t -t^2)dt = 6\left(\frac{1}{2}x - \frac{1}{3}{x^3}\right) = 3x -2x^3.\)
Dla \( x \geq 1 \)
\( F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t)dt = \int_{-\infty} ^{0} 0dt + \int_{0}^{x} 6(t -t^2)dt + \int_{1}^{\infty} 0dt = 0 + \left[3t -2t^3\right]_{0}^{1}+0 = 1.\)
(3)
\( E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} xf(x) dx = \int_{-\infty}^{0}x\cdot 0dx + \int_{0}^{1} 6x(x-x^2)dx + \int_{1}^{\infty}x\cdot 0dx = 6\left[\frac{x^3}{3} -\frac{x^4}{4}\right]_{0}^{1} = 6\left(\frac{1}{3} - \frac{1}{4}\right) = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}.\)
(4)
Wariancja zmiennej losowej \( X \) jest równa różnicy momentu zwykłego rzędu drugiego \( E(X^2)\) i kwadratu momentu zwykłego rzędu pierwszego czyli kwadratu wartości oczekiwanej tej zmiennej:
\( D^(X) = E(X^2) - (E(X))^2 \)
\( E(X^2) = \int_{-\infty}^{\infty} x^2 f(x)dx = \int_{-\infty}^{0}x^2\cdot 0dx + \int_{0}^{1} 6x^2(x-x^2)dx + \int_{1}^{\infty} x^2\cdot 0 dx = 6\left[\frac{x^4}{4} -\frac{x^5}{5}\right]_{0}^{1} = 6\left(\frac{1}{4} - \frac{1}{5}\right) = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}.\)
\( D^2(X) = \frac{3}{10} - \frac{1}{4} = \frac{6}{20} - \frac{5}{20}= \frac{1}{20}.\)
Uwaga
Wariancję zmiennej losowej X jako średniokwadratowe odchylenie od średniej możemy też obliczyć ze wzoru:
\( D^2(X) = \int_{-\infty}^{\infty} (x - E(X))^2 f(x) dx. \)