Zadanie ze stereometrii-3 kule w kuli

[keddy]

Witam, potrzebuję pomocy w naprowadzeniu na poprawne rozwiązanie zadania:

,,W kule o promieniu R wpisano 3 kule o promieniach r. Obliczyć promień kul r.''

Danych liczbowych brak. Pozdrawiam.

[janusz55]

Jeśli wykonamy dość staranny rysunek przekroju trzech kul o promieniu r wpisanych w kulę o promieniu \( R \)
i połączymy środki wpisanych kul to otrzymamy trójkąt równoboczny o boku długości \( 2r. \)

Suma długości \( \frac{2}{3}h \) wysokości tego trójkąta i promienia \( r \) jest równa promieniowi dużej kuli\(R.\)

Możemy więc napisać równanie:

\( \frac{2}{3}\cdot \frac{2r\sqrt{3}}{2} + r = R \)

Proszę wyznaczyć z tego równania \( r.\)

[anilewe_MM]

A gdyby to były cztery kule? Ich środki byłyby w wierzchołkach czworościanu foremnego? Jak by wyglądało równanie?

[Jerry]

Tak. Środek dużej kuli dzieliłby wysokość \(H\) czworościanu w stosunku \(3:1\) licząc od wierzchołka i równanie miałoby postać: \[{3\over4}\cdot H+r=R\]
Pozdrawiam
PS. Nie mam kartki pod ręką, doliczysz \(H\) dla \(a=2r\) sama?

[janusz55]

\( R = \frac{3}{4}H + r \)

\( R = \frac{3}{4}\cdot \frac{2\sqrt{6}}{3}\cdot r + r \)

\( R = \frac{\sqrt{6}}{2}r + r \)

\( 2R = (\sqrt{6}+2)r \)

\( r = \frac{2R}{\sqrt{6}+2} = \frac{2R(\sqrt{6}-2)}{6 -4} = R(\sqrt{6} -2).\)

[anilewe_MM]

Środek dużej kuli dzieliłby wysokość \(H\) czworościanu w stosunku \(3:1\) licząc od wierzchołka

Powinnam to wiedzieć?

[Jerry]

Mogłabyś...

Kula opisana na czworościanie foremnym i kula w niego wpisana mają wspólny środek należący do wysokości czworościanu! Zrób schludny rysunek (oznaczenia standardowe) i zauważ:
\[\begin{cases}R+r=H\\R^2=r^2+\left({2\over3}h_p\right)^2\end{cases}\]
Albo:
Czworościan foremny można rozciąć na cztery przystające ostrosłupy prawidłowe o wysokości \(r\) promienia kuli wpisanej i zachodzi
\[{1\over3}\cdot{a^2\sqrt3\over4}\cdot H=4\cdot{1\over3}\cdot{a^2\sqrt3\over4}\cdot r\]
a promień \(R\) kuli opisanej jest pozostałą częścią wysokości \(H\) czworościanu.

Pozdrawiam