\(f(x) =\frac{ x^2}{3-x}\) wyznacz zbiór wartości funkcji w przedziale [-3,5].
Dziedzina = \(x \neq 3\)
Obliczyłam wartości funkcji na końcach przedziału f(-3) = 3/2 oraz f(5) = -25/2. Później obliczyłam pochodną i wyznaczyłam z niej "x" podejrzane o ekstrema. Wyszło mi, że ekstrema mogą znajdywać się w x1= 0 i x2= 6. Wykluczyłam 6 bo nie mieści się w przedziale. Obliczyłam wartość funkcji dla 0 f(0) = 0. Według mojej wiedzy f(0)= 0 to minimum lokalne funkcji, natomiast wartość f(5) jest mniejsza. Nie wiem, którą wartość uznać za minimalną wartość funkcji f(5)= -25/2 czy f(0) = 0. Czy f(0) można w ogóle uznać za minimum lokalne? Jeżeli nie to dlaczego?
Wyznaczenie zbioru wartości funkcji w przedziale przy pomocy pochodnej
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Re: Wyznaczenie zbioru wartości funkcji w przedziale przy pomocy pochodnej
Dziękuję za odpowiedź, jednak dalej nie rozumiem. Według wykresu wygląda na to, że zbiór wartości funkcji: \((- \infty , {-25\over2}] \cup [0, \infty )\). Wydaje mi się że to nie jest dobra odpowiedź, a jeżeli jest to nie wiem w jaki sposób można by to było określić bez wykresu.
- Jerry
- Expert
- Posty: 3536
- Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
- Podziękowania: 51 razy
- Otrzymane podziękowania: 1940 razy
Re: Wyznaczenie zbioru wartości funkcji w przedziale przy pomocy pochodnej
To jest, wg mnie, dobra odpowiedź!
Z pochodnej wynika monotoniczność funkcji, czyli możesz, wyznaczając dodatkowo granice w \(x=3\), określić elementarnie jej przebieg i wnioskować zbiór wartości.
Pozdrawiam
PS. Spójrz na to - ułatwi Ci regulaminowe pisanie postów!
Z pochodnej wynika monotoniczność funkcji, czyli możesz, wyznaczając dodatkowo granice w \(x=3\), określić elementarnie jej przebieg i wnioskować zbiór wartości.
Pozdrawiam
PS. Spójrz na to - ułatwi Ci regulaminowe pisanie postów!
Re: Wyznaczenie zbioru wartości funkcji w przedziale przy pomocy pochodnej
Bardzo dziękuję za pomoc!
-
- Fachowiec
- Posty: 1597
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 2 razy
- Otrzymane podziękowania: 421 razy
Re: Wyznaczenie zbioru wartości funkcji w przedziale przy pomocy pochodnej
\( f(x) = \frac{x^2}{3-x} \)
Dziedzina funkcji
\( D = \{ x: x\in \rr \wedge \ \ 3-x \neq 0 \} = \rr \setminus \{3\}.\)
Co dzieje się z wykresem w punkcie \( x_{0} = 3 ? \)
\( \Lim_{x\to 3^{-}} f(x) = \Lim_{x\to 3^{-}} \frac{x^2}{3-x} = \left [ \frac{9}{0^{+}}\right] = +\infty. \)
\( \Lim_{x\to 3^{+}} f(x) = \Lim_{x\to 3^{+}} \frac{x^2}{3-x} = \left [\frac{9}{0^{-}}\right] = -\infty.\)
W punkcie \( x_{0} = 3 \) wykres funkcji ma pionową asymptotę obustronną.
Zauważmy, że stopień wielomianu licznika równa 2 jest jeden większy od stopnia mianownika równego 1.
Wykres funkcji może więc posiadać asymptotę ukośną (pochyłą). Aby to sprawdzić dzielimy licznik przez mianownik funkcji.
\( f(x) = \frac{x^2}{3-x} = (-x -3) + \frac{9}{3-x} \)
\( |f(x) - (-x -3)| = \left| \frac{9}{3-x} \right| \rightarrow 0, \) gdy \( x \rightarrow \infty \)
Asymptotą ukośną obustronną wykresu funkcji jest prosta \( y = -x -3.\)
Znajdujemy ekstrema lokalne funkcji
\( f'(x) = \frac{2x(3-x) -x^2(-1)}{(3-x)^2} = \frac{-2x^2 + 6x +x^2}{(3-x)^2} = \frac{-x^2 +6x}{(3-x)^2} = \frac{x(-x+6)}{(3-x)^2} \)
Znak pochodnej zależy od znaku funkcji kwadratowej \( g(x)= x(-x+6), \) która przyjmuje wartość zero w punktach \( (0,0) \ \ (6,0)\)
Poprawnie Pani określiła, że w punktach tych funkcja posiada odpowiednio minimum lokalne równe \( f(0) = 0\) i maksimum lokalne \( f(6) =
-12 \) , które nie należy do rozpatrywanego przedziału \( [-3, \ \ 5].\)
Określamy wartość najmniejszą i największą funkcji \( f(x) \) przedziale \([ -3,\ \ 5 ].\)
\( \min_{[-3, 5]} f(x) = \min[ f(-3) , f(0) , f(5) ] = \min \left[ \frac{9}{6}, 0 , -\frac{25}{2}\right] = \frac{9}{6} = -\frac{25}{2} = -12\frac{1}{2}.\)
\( \max_{[-3, 5]} f(x) = \max[ f(-3) , f(0) , f(5) ] = \max \left[ \frac{9}{6}, 0 , -\frac{25}{2}\right] = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}.\)
Dziedzina funkcji
\( D = \{ x: x\in \rr \wedge \ \ 3-x \neq 0 \} = \rr \setminus \{3\}.\)
Co dzieje się z wykresem w punkcie \( x_{0} = 3 ? \)
\( \Lim_{x\to 3^{-}} f(x) = \Lim_{x\to 3^{-}} \frac{x^2}{3-x} = \left [ \frac{9}{0^{+}}\right] = +\infty. \)
\( \Lim_{x\to 3^{+}} f(x) = \Lim_{x\to 3^{+}} \frac{x^2}{3-x} = \left [\frac{9}{0^{-}}\right] = -\infty.\)
W punkcie \( x_{0} = 3 \) wykres funkcji ma pionową asymptotę obustronną.
Zauważmy, że stopień wielomianu licznika równa 2 jest jeden większy od stopnia mianownika równego 1.
Wykres funkcji może więc posiadać asymptotę ukośną (pochyłą). Aby to sprawdzić dzielimy licznik przez mianownik funkcji.
\( f(x) = \frac{x^2}{3-x} = (-x -3) + \frac{9}{3-x} \)
\( |f(x) - (-x -3)| = \left| \frac{9}{3-x} \right| \rightarrow 0, \) gdy \( x \rightarrow \infty \)
Asymptotą ukośną obustronną wykresu funkcji jest prosta \( y = -x -3.\)
Znajdujemy ekstrema lokalne funkcji
\( f'(x) = \frac{2x(3-x) -x^2(-1)}{(3-x)^2} = \frac{-2x^2 + 6x +x^2}{(3-x)^2} = \frac{-x^2 +6x}{(3-x)^2} = \frac{x(-x+6)}{(3-x)^2} \)
Znak pochodnej zależy od znaku funkcji kwadratowej \( g(x)= x(-x+6), \) która przyjmuje wartość zero w punktach \( (0,0) \ \ (6,0)\)
Poprawnie Pani określiła, że w punktach tych funkcja posiada odpowiednio minimum lokalne równe \( f(0) = 0\) i maksimum lokalne \( f(6) =
-12 \) , które nie należy do rozpatrywanego przedziału \( [-3, \ \ 5].\)
Określamy wartość najmniejszą i największą funkcji \( f(x) \) przedziale \([ -3,\ \ 5 ].\)
\( \min_{[-3, 5]} f(x) = \min[ f(-3) , f(0) , f(5) ] = \min \left[ \frac{9}{6}, 0 , -\frac{25}{2}\right] = \frac{9}{6} = -\frac{25}{2} = -12\frac{1}{2}.\)
\( \max_{[-3, 5]} f(x) = \max[ f(-3) , f(0) , f(5) ] = \max \left[ \frac{9}{6}, 0 , -\frac{25}{2}\right] = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}.\)
Ostatnio zmieniony 23 lut 2024, 11:52 przez janusz55, łącznie zmieniany 2 razy.
-
- Fachowiec
- Posty: 1597
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 2 razy
- Otrzymane podziękowania: 421 razy
Re: Wyznaczenie zbioru wartości funkcji w przedziale przy pomocy pochodnej
Uwaga
Jak stwierdziliśmy w punkcie \( x_{0} = 3 \) przedziału \( [-3, \ \ 5 ] \) wykres funkcji ma obustronną asymptotę pionową z plus na minus nieskończoność.
Wynika z tego, że w tym przedziale funkcja przyjmuje również wartości \( +\infty, \ -\infty. \)
Ale tych nieskończonych wartości nie przyjmuje się jako wartości największej i najmniejszej funkcji czyli wartości maksimum i minimum globalnego.
Jak stwierdziliśmy w punkcie \( x_{0} = 3 \) przedziału \( [-3, \ \ 5 ] \) wykres funkcji ma obustronną asymptotę pionową z plus na minus nieskończoność.
Wynika z tego, że w tym przedziale funkcja przyjmuje również wartości \( +\infty, \ -\infty. \)
Ale tych nieskończonych wartości nie przyjmuje się jako wartości największej i najmniejszej funkcji czyli wartości maksimum i minimum globalnego.
- Jerry
- Expert
- Posty: 3536
- Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
- Podziękowania: 51 razy
- Otrzymane podziękowania: 1940 razy
Re: Wyznaczenie zbioru wartości funkcji w przedziale przy pomocy pochodnej
Jasnowidz?
A to nie jest prawdą - na szczęście w następnym poście jest poprawka!janusz55 pisze: ↑23 lut 2024, 11:20 \( \min_{[-3, 5]} f(x) = \min[ f(-3) , f(0) , f(5) ] = \min \left[ \frac{9}{6}, 0 , -\frac{25}{2}\right] = \frac{9}{6} = -\frac{25}{2} = -12\frac{1}{2}.\)
\( \max_{[-3, 5]} f(x) = \max[ f(-3) , f(0) , f(5) ] = \max \left[ \frac{9}{6}, 0 , -\frac{25}{2}\right] = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}.\)
Pozdrawiam
-
- Fachowiec
- Posty: 1597
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 2 razy
- Otrzymane podziękowania: 421 razy
Re: Wyznaczenie zbioru wartości funkcji w przedziale przy pomocy pochodnej
Poczytaj na temat ekstremów lokalnych i globalnych funkcji.
Polecam na przykład podręcznik Andrzeja Birkholca. Analiza matematyczna dla nauczycieli.
To nie jest poprawka tylko uwaga.
Polecam na przykład podręcznik Andrzeja Birkholca. Analiza matematyczna dla nauczycieli.
To nie jest poprawka tylko uwaga.