Wielomiany

Algebra liniowa, algebra, wektory, liczby zespolone
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Fedal
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 1
Rejestracja: 21 lut 2024, 18:46
Podziękowania: 6 razy

Wielomiany

Post autor: Fedal »

Reszta z dzielenia wielomianu
$$W(x)=2x^{4}+px^{3}+9x^{2}+qx+5$$ przez wielomian
$$P(x)=2x-2$$ jest równa 10 . Reszta z dzielenia $$W(x)$$ przez wielomian $$Q(x)=x+1$$ wynosi 22.
Jakie są wartości parametrów p i q ?
janusz55
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1920
Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
Podziękowania: 4 razy
Otrzymane podziękowania: 459 razy

Re: Wielomiany

Post autor: janusz55 »

Twierdzenie E. Bezout

Reszta z dzielenia wielomianu \( W(x) \) przez dwumian \( x-c \) jest równa wartości wielomianu \( W(x) \) dla \( x=c, \) to jest liczbie \( W(c).\)

\( \begin{cases} W(1) = 10 \\ W(-1) = 22 \end{cases} \)

Proszę rozwiązać ten układ równań.
Maciek32
Czasem tu bywam
Czasem tu bywam
Posty: 103
Rejestracja: 14 mar 2023, 17:08
Podziękowania: 47 razy
Otrzymane podziękowania: 3 razy

Re: Wielomiany

Post autor: Maciek32 »

Wychodzi, że \(p=-6-q\), z równania \(W(-1)\) i po podstawieniu do \(W(1)\) wychodzi, równanie tożsamościowe \(10=10\). To znaczy, że \(p,q\in \rr\)?
Icanseepeace
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 440
Rejestracja: 03 kwie 2021, 21:36
Podziękowania: 6 razy
Otrzymane podziękowania: 253 razy
Płeć:

Re: Wielomiany

Post autor: Icanseepeace »

Maciek32 pisze: 21 lut 2024, 21:43 Wychodzi, że \(p=-6-q\), z równania \(W(-1)\) i po podstawieniu do \(W(1)\) wychodzi, równanie tożsamościowe \(10=10\). To znaczy, że \(p,q\in \rr\)?
Nie. To oznacza, że
\( p = -6 - q \ , \ q \in R \).
Maciek32
Czasem tu bywam
Czasem tu bywam
Posty: 103
Rejestracja: 14 mar 2023, 17:08
Podziękowania: 47 razy
Otrzymane podziękowania: 3 razy

Re: Wielomiany

Post autor: Maciek32 »

Faktycznie! Ale jak określić wartość parametru p? Takie uzależnienie od q jest wystarczające?
Icanseepeace
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 440
Rejestracja: 03 kwie 2021, 21:36
Podziękowania: 6 razy
Otrzymane podziękowania: 253 razy
Płeć:

Re: Wielomiany

Post autor: Icanseepeace »

Maciek32 pisze: 21 lut 2024, 22:22 Faktycznie! Ale jak określić wartość parametru p? Takie uzależnienie od q jest wystarczające?
Wartości jest nieskończenie wiele i są uzależnione od siebie.
Zapis jest wystarczający.
janusz55
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1920
Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
Podziękowania: 4 razy
Otrzymane podziękowania: 459 razy

Re: Wielomiany

Post autor: janusz55 »

\( \begin{bmatrix} p \\ q \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -6 -q \\ q \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -6 \\ 0 \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} -q \\q \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -6 \\ 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix} q, \ \ q\in \rr \ \ (*) \)

Jeżeli wartości parametrów \( p, \ \ q \) wielomianu \( W(x) = 2x^4 +px^3 +9x^2+qx +5 \) będą należały do prostej \( (*) \) to wielomian ten przy dzieleniu przez dwumian \( 2x -2 \) będzie dawał resztę równą \( 10, \) a przy dzieleniu przez dwumian \( x+1\) resztę 22.
ODPOWIEDZ