Podzielność

[Jerry]

Niech \(a,b\) będą liczbami całkowitymi, dla których zachodzi równość \(2a^2+a=3b^2+b\). Wykaż, że jeśli \(5\) jest dzielnikiem liczby \(a-b\), to \(25\) również jest dzielnikiem liczby \(a-b\).

Dana równość jest równoważna:
\[2(a^2-b^2)+a-b=b^2\\
(a-b)(2a+2b+1)=b^2\]
Skoro \(5\mid(a-b)\), to wnioskujemy kolejno:

• \(5\mid b^2\)
• \(5\mid b\)
• \(25\mid b^2\)
• \(5\mid a\)
• \(25\mid a^2\)
• teza

Pozdrawiam

[Maciek32]

\[ \left\{2a^2+a-3b^2-b= \frac{2a^2+a-3b^2-b}{a-b}\cdot 5k, \ 5k= (a-b), \ k\in \zz \right\} \]

Dalej jakieś wnioski można wysnuć z tego?

[Jerry]

Wg mnie - nie.
\[\begin{cases}2a^2+a-3b^2-b= 0\\
2a^2+a-3b^2-b= \frac{2a^2+a-3b^2-b}{a-b}\cdot 5k\end{cases}\So k=0\]
Poza tym nikt nie wykluczył \(a=b\).

Pozdrawiam

[Maciek32]

A jest jakiś inny sposób np. wyłączyć z tego równania taki czynnik przed nawias \(5(a-b)\)?. Napewno kongruencjami da się rozwiązać;)

[Maciek32]

\[(\sqrt{2}a - \sqrt{3}b)(\sqrt{2}a + \sqrt{3}b) = b - a\]

Przyjmijmy, że \(5k=a-b\)

\[-(\sqrt{2}a - \sqrt{3}b)(\sqrt{2}a + \sqrt{3}b) = 5k\]

1. Jeśli \(\sqrt{2}a - \sqrt{3}b\) jest podzielne przez \(5\), wtedy \(\sqrt{2}a - \sqrt{3}b = 5m\) dla jakiejś liczby całkowitej \(m\).
2. Jeśli \(\sqrt{2}a + \sqrt{3}b\) jest podzielne przez \(5\), then \(\sqrt{2}a + \sqrt{3}b = 5n\) dla jakiejś liczby całkowitej \(n\).

Teraz podnieśmy obie strony równań do kwadratu:

\[(2a - 2\sqrt{6}ab + 3b^2) = 25m^2\]
\[(2a + 2\sqrt{6}ab + 3b^2) = 25n^2\]

Podstawmy pierwsze do drugiego:

\[4\sqrt{6}ab = 25(n^2 - m^2)\]

Jakieś wnioski z tego?

[Jerry]

Dla \(a,b\in\zz\) bardzo rzadko \(a\sqrt2-b\sqrt3, a\sqrt2+b\sqrt3\in\zz\)

Pozdrawiam

[Maciek32]

A kongruencje w jakiś sposób da się zastosować?

[Jerry]

Przyciskasz, spróbuję... sztuka dla sztuki!
Z założenia: \[a-b\equiv0\mod5\iff a\equiv b\mod5\]
wynika:
\[\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline
a\mod 5&(2a^2+a)\mod5&b\mod5&(3b^2+b)\mod5\\ \hline
0&0&0&0\\
1&3&1&4\\
2&0&2&4\\
3&1&3&0\\
4&1&4&2\\ \hline\end{array}\]
Czyli
\[2a^2+a\equiv 3b^2+b\mod 5\iff a\equiv b\equiv0\mod5\]
skąd do tezy blisko.

Pozdrawiam
PS. Może Icanseepeace będzie miał lepszy pomysł...

[Maciek32]

A żeby dojść do tezy trzeba doprowadzić do jakiejś formy \(\mod 25\)?

[Jerry]

\[a\equiv b\equiv0\mod5\So a^2\equiv b^2\equiv0\mod25\So a^2-b^2\equiv0\mod25\]
Pozdrawiam

[Maciek32]

Z tego wynika też że czynnik \(a+b\) dzieli się przez \(5\). Prawda?

[Jerry]

Tak.

Pozdrawiam