Rozwiąż równanie metodą Transformata Laplace’a:
\(
y''+4y'+4y=2e^{-t}, y(0)=2,y'(0)=2
\)
Transformata Laplace’a
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
janusz55
- Fachowiec
- Posty: 1561
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 2 razy
- Otrzymane podziękowania: 412 razy
Re: Transformata Laplace’a
\( \mathcal{L}[ y^{''} +4y' +4y ] = \mathcal{L}[2e^{-t}] \)
\( s^2Y -s\cdot 2 - 2 +4(sY -2) + 4Y = \frac{2}{s+1} \)
\( s^2Y -2s -2 +4sY -8 +4Y = \frac{2}{s+1}\)
\( Y(s^2 +4s+4) -2s -10 = \frac{2}{s+1} \)
\( Y(s^2 +4s +4) = \frac{2}{s+1}+2s + 10 \)
\( Y(s^2 +4s +4) = \frac{2 + 2s^2 +2s + 10s +10}{s+1} \)
\( Y(s^2+4s +4) = \frac{2s^2 +12s +12}{s+1}\)
\( Y = \frac{2s^2 + 12s +12}{(s+1)(s^2+4s +4)} = \frac{2(s^2+6s+6)}{(s+1)(s^2+4s+4)} = \frac{2(s+3-\sqrt{3})(s+3+\sqrt{3})}{(s+1)(s+2)^2}. \)
\( y(t) = \mathcal{L}^{-1} \left[ \frac{2(s+3-\sqrt{3})(s+3+\sqrt{3})}{(s+1)(s+2)^2}\right] =4te^{-2t} +2e^{-t}. \)
\( s^2Y -s\cdot 2 - 2 +4(sY -2) + 4Y = \frac{2}{s+1} \)
\( s^2Y -2s -2 +4sY -8 +4Y = \frac{2}{s+1}\)
\( Y(s^2 +4s+4) -2s -10 = \frac{2}{s+1} \)
\( Y(s^2 +4s +4) = \frac{2}{s+1}+2s + 10 \)
\( Y(s^2 +4s +4) = \frac{2 + 2s^2 +2s + 10s +10}{s+1} \)
\( Y(s^2+4s +4) = \frac{2s^2 +12s +12}{s+1}\)
\( Y = \frac{2s^2 + 12s +12}{(s+1)(s^2+4s +4)} = \frac{2(s^2+6s+6)}{(s+1)(s^2+4s+4)} = \frac{2(s+3-\sqrt{3})(s+3+\sqrt{3})}{(s+1)(s+2)^2}. \)
\( y(t) = \mathcal{L}^{-1} \left[ \frac{2(s+3-\sqrt{3})(s+3+\sqrt{3})}{(s+1)(s+2)^2}\right] =4te^{-2t} +2e^{-t}. \)