Problem z równaniem

[Maciek32]

\[ \sin 2 x - \sqrt { 2 } \cos x = \sqrt { 2 } \sin x - 1 \]
po przeniesieniu na lewą stronę równania i podzieleniu przez 2 otrzymałem:
\[ \sin x \cos x - \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } ( \cos x - \sin x ) + \frac { 1 } { 2 } = 0 \\
… \\ \sin x \cos x - \cos ( x + \frac { \pi } { 4 } ) = - \frac { 1 } { 2 }\]
tutaj wyciągnąć się nic nie da, i nie mam pomysłu co można zrobić. Może popełniam błąd gdzieś wcześniej, i jest jakiś lepszy sposób?

[Jerry]

\[ \sin 2 x - \sqrt { 2 } \cos x = \sqrt { 2 } \sin x - 1 \\
2\sin x\cos x-\sqrt2\cos x=\sqrt2\sin x-1\\
\sqrt2\cos x(\sqrt2\sin x-1)-(\sqrt2\sin x-1)=0\\
(\sqrt2\sin x-1)(\sqrt2\cos x-1)=0\\
\sqrt2\sin x-1=0\quad\vee\quad \sqrt2\cos x-1=0\\
\sin x={\sqrt2\over2}\quad\vee\quad\cos x={\sqrt2\over2}\\ \ldots\]
Pozdrawiam

[Maciek32]

A z tego mojego nie da się czegoś zrobić?

[Maciek32]

Tutaj mam jeszcze takie równanie
Pomocniczo: \( \sin ( 2 x + 2 x ) = 2 \sin 2 x \cos 2 x\)
\[ \sin ^ { 2 } 2 x + \frac { 1 } { 2 } \sin 4 x = \tan 2 x \\ \sin ^ { 2 } 2 x + \frac { 1 } { 2 } ( 2 \sin 2 x \cos 2 x) = \frac { \sin 2 x } { \cos 2 x }/ \cdot 2 \\ 2 \sin ^ { 2 } 2 x + 2 \sin 2 x \cos 2 x = \frac { 2 \sin 2 x } { \cos 2 x }/ \cdot \cos2x\\ \begin{gather} 2 \sin 2 x \sin 2 x \cos 2 x + 2 \sin 2 x \cos 2 x - 2 \sin 2 x = 0 \\ 2 \sin 2 x ( \sin 2 x \cos 2 x + \cos 2 x - 1 ) = 0 \\ 2 \sin 2 x ( \cos 2 x ( \sin 2 x + 1 ) - 1 ) = 0\end{gather} \]

[Icanseepeace]

\[
2 \sin ^ { 2 } 2 x + 2 \sin 2 x \cos 2 x = \frac { 2 \sin 2 x } { \cos 2 x }/ \cdot \cos2x\\ 2 \sin 2 x \sin 2 x \cos 2 x + 2 \sin 2 x \cos 2 x - 2 \sin 2 x = 0 \]

Tutaj jest źle przemnożone.

[Maciek32]

\[
2 \sin ^ { 2 } 2 x + 2 \sin 2 x \cos 2 x = \frac { 2 \sin 2 x } { \cos 2 x }/ \cdot \cos2x\\ 2 \sin 2 x \sin 2 x \cos 2 x + 2 \sin 2 x \cos 2 x\cos 2x - 2 \sin 2 x = 0 \\ \begin{gather} \ 2 \sin 2 x ( \sin 2 x \cos 2 x + \cos^2 2 x - 1 ) = 0 \\ 2 \sin 2 x ( \cos 2 x ( \sin 2 x + \cos2x ) - 1 ) = 0\end{gather}\]

Teraz dobrze?

[Icanseepeace]

Teraz tak.

[Maciek32]

To jak dalej działać?

[Icanseepeace]

\[
\begin{gather} \ 2 \sin 2 x ( \sin 2 x \cos 2 x + \cos^2 2 x - 1 ) = 0 \end{gather}\]

\( \sin2x = 0 \vee \sin2x \cos2x - (1 - \cos^22x) = 0 \)
\( \sin2x = 0 \vee \sin2x \cos2x - \sin^22x = 0 \)
...

[Jerry]

A z tego mojego nie da się czegoś zrobić?

Ja nie widzę kontynuacji...

Wiem, że to trudna decyzja, ale jak w rozwiązywanym zadaniu "odbijasz się od ściany", to weź czystą kartkę i zacznij od nowa inna drogą! Ja tak robię

Pozdrawiam

[Jerry]

\[ \sin ^ { 2 } 2 x + \frac { 1 } { 2 } \sin 4 x = \tan 2 x \]

Wg mnie, w dziedzinie,:
\[\frac{1-\cos4x}{2}+\frac{\sin4x}{2}=\tg2x\\
\sin4x-\cos4x=2\tg2x-1\\
\frac{2\tg2x}{1+\tg^22x}-\frac{1-\tg^22x}{1+\tg^22x}=2\tg2x-1\\ \ldots\\ \tg^32x=0\\ \ldots\]
Wykorzystane fakty

Dla dobrze określonego kąta \(\alpha\) mamy:\[\sin^2\alpha=\frac{1-\cos2\alpha}{2}\\
\sin\alpha=\frac{2\tg{\alpha\over2}}{1+\tg^2{\alpha\over2}}\\
\cos\alpha=\frac{1-\tg^2{\alpha\over2}}{1+\tg^2{\alpha\over2}}\]

Pozdrawiam

[janusz55]

"Jeśli nie możesz rozwiązać problemu przerwij. Zacznij od nowa. To jest takie uderzanie głową o mur. Mur puści - głowa nie puści"
"Mur" Jean - Paul Sarte