Dowód

[kalo89]

Trzeba udowodnić, że dla każdej liczby naturalnej\( n \), liczba \(10^n+4^n-2\) jest liczbą podzielną przez 3. Da się to zrobić wnioskując o jakichś parzystościach takiego wyrażenia \(2(5^n+2^n-1)\) czy nie?

[Jerry]

Ale
\(10^n+4^n-2\ne2(5^n+2^n-1)\), bo np. \(2\cdot5^n\ne10^n=2^n\cdot5^n\)
Ja bym poszedł w
\(10^n+4^n-2=(10^n-1)+(4^n-1)=\ldots\)
i kontynuacja wzorem ze ściągawki maturalnej:
\[a^n-1=(a-1)(a^{n-1}+a^{n-2}+\ldots+a+1)\]
Pozdrawiam

[kalo89]

Fakt.
A z takiego \(2^n(5^n+2^n)-2\) nie da się czegoś wykrzesać?

[Jerry]

Wg mnie - nie!

Pozdrawiam

[kalo89]

A jakiś inny sposób. Bo w tym przytoczonym przez Ciebie trzeba być doświadczonyn i wiedzieć że po rozkładzie na takie "kontynuacje" jakie napisałeś wyjdzie coś podzielnego przez 3 przed nawias.

[Jerry]

Intuicyjnie prostsze, dowodowo bardziej skomplikowane?
Zasada indukcji matematycznej zupełnej

Pozdrawiam

[kalo89]

Są tam opisane dowody równości. A jak dowieść tę podzielność? Napisałbyś?

[Jerry]

Chcesz - masz, zrozumiesz - dobrze, ale mojego komentarza już więcej w wątku nie będzie!
\(1^\circ\quad\)Sprawdźmy dla \(n=1\): \(m_1=10^1+4^1-2=12=3\cdot4\)
\(2^\circ\quad\)Załóżmy, że dla pewnego \(n=k\ge1\) istnieje liczba całkowita \(q_k\) taka, że \(m_k=10^k+4^k-2=3\cdot q_k\) i sprawdźmy czy istnieje liczba całkowita \(q_{k+1}\) taka, że \(m_{k+1}=10^{k+1}+4^{k+1}-2=3\cdot q_{k+1}\):
\(L_T=m_{k+1}=10^{k+1}+4^{k+1}-2=10\cdot10^k+4\cdot4^k-2=6\cdot10^k+4(10^k+4^4-2)+6\nad{\text{z Z}}{=}6\cdot10^k+4\cdot3\cdot q_k+6=\\ \quad\quad=3(2\cdot10^k+4\cdot q_k+2)\\
L_T=P_T\iff q_{k+1}=(2\cdot10^k+4\cdot q_k+2)\in\zz\)
Ponieważ wykazaliśmy podzielność dla \(n=1\) i z podzielności dla dowolnego \(n\ge1\) wywnioskowaliśmy podzielność dla następnego \(n\), to na mocy zasady indukcji matematycznej zupełnej możemy stwierdzić, że podzielność zachodzi dla każdego \(n\) naturalnego dodatniego. CKD

Pozdrawiam

[Icanseepeace]

Dlaczego nie użyć kongruencji?
https://www2.im.uj.edu.pl/LeszekPieniaz ... est-5.html
W mojej opinii są najprostszym sposobem na takie zadania.

[Jerry]

Dlaczego nie użyć kongruencji?

Masz rację, nie pomyślałem...

Pozdrawiam

[kalo89]

Sorki, ale co to znaczy nad znakiem równości zZ? Z założenia?

[Jerry]

Tak.

Pozdrawiam

[janusz55]

Wykażemy, że dla każdej liczby naturalnej \( n \) prawdziwe jest zdanie:

\( T(n): \) Liczba \( 10^{n} + 4^{n} -2 \) jest podzielna przez \( 3.\)

Założenie to zapiszemy w postaci równoważnej.

Istnieje taka liczba naturalna \( a_{n} \) , że \( 10^{n} + 4^{n} -2 = 3 a_{n} \)

Sprawdzenie

1) Zdanie

\( T(1): \) Istnieje taka liczba \( a_{1}\), że \( 10^1 +4^1 -2 = 3a_{1} \)

jest zdaniem prawdziwym, bo \( 10^1 +4^1 -2 = 10 + 4 - 2 = 12 = 3\cdot 4.\)

Założenie indukcyjne.

2) Załóżmy, że dla pewnej liczby naturalnej \( k \) prawdziwe jest zdanie:

\(T(k):\) istnieje taka liczba naturalna \( a_{k} \), że \( 10^{k} +4^{k}-2 = 3a_{k}.\)

Krok indukcyjny.

Wykażemy prawdziwość zdania

\( T(k+1): \) istnieje taka liczba naturalna \( a_{k+1} \), że \( 10^{k+1} +4^{k+1}-2 = 3a_{k+1}.\)

Przekształcając lewą stronę tego wzoru \( 10^{k+1} +4^{k+1} -2 =3a_{k+1} \) i korzystając z prawdziwości zdania \( T(k)\) (założenie idukcyjne), otrzymujemy

\( 10^{k+1} +4^{k+1} -2 = 10\cdot 10^{k} +4\cdot 4^{k} - 2 = 10(10^{k} +4^{k}-2) - 6\cdot 4^{k} +18 = 10(10^{k}+4^{k}-2) -3 (2\cdot 4^{k}-6) = 3a_{k+1}.\)

gdzie

\( a_{k+1}= 10a_{k} - 3(2\cdot 4^{k} -6) \)

Odjemna różnicy jest podzielna przez \( 3 \) z założenia indukcyjnego. Odjemnik jest podzielny przez \( 3.\) Różnica dwóch liczb podzielnych przez \( 3 \) jest podzielna przez \( 3.\)

Zdanie \( T(k+1) \) jest prawdziwe.

Wykazaliśmy, że

1) Zdanie \( T(1) \) jest prawdziwe.

2) Dla każdej liczby naturalnej \( k \) z prawdziwości zdania \( T(k) \) wynika prawdziwość zdania \( T(k+1).\)

Na podstawie zasady indukcji zupełnej, dla każdego \( n\in \nn \) zdanie \( T(n) \) jest zdaniem prawdziwym.
\( \Box \)