Optymalizacyjne pomocy

[dytko]

suma długości wszystkich krawędzi ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 60. dla jakich długości krawędzi ostrosłup ten będzie miał największą objętość

[Jerry]

Niech \(x\in(0;30-15\sqrt2)\) będzie długością krawędzi podstawy, \(b>{x\sqrt2\over2}\) długością krawędzi bocznej. Wtedy:

1. \(4x+4b=60\iff b=15-x\)
2. \(h=\sqrt{b^2-\left({x\sqrt2\over2}\right)^2}={1\over2}\sqrt{4(15-x)^2-2x^2}\)
3. \(V(x)={1\over3}\cdot x^2\cdot{1\over2}\sqrt{4(15-x)^2-2x^2}={1\over6}\sqrt{4x^4(15-x)^2-2x^6}\)

Wystarczy zbadać funkcję \(f(x)=4x^4(15-x)^2-2x^6\) określoną w \(D=(0;30-15\sqrt2)\)

Pozdrawiam

PS.

Jeśli się nie palnąłem: \(V_\max={1\over6}\cdot\sqrt{f(25-5\sqrt{13})}\)