Bardzo proszę o pomoc w kilku zdaniach.
1. Oszacowano model na podstawie 15 obserwacji: Y = 10 - 10 X1 + 3 X2
test stud. \alpha = 0,05, błędy szacunku parametrów = (1) (1,5) (0,1)
I. parametr przy zmiennej X1 istotnie różni sie od 0
II. parametr przy zmiennej X2 nieistotni różni sie od 0
III. zmienna X1 wywiera istotny wpływ na Y
IV. zmienna X2 wywiera istotny wpływ na Y
Wskaż prawidłowe (wymagane rozwiązanie)
2. Na podstawie 15 obserwacji oszacowano model z 2 zmiennymi objasniajacymi. Po przeprowadzeniu dwustronnego testu Helwiga na poziomie istotności 0,1 stwierdzono ze rozkład składnika losowego jest normalny. Liczba cel pustych mogła wynosić
2, 3, 5, 8, żadne z nich (Wymagane rozwiązanie)
3. Na podstawie 10 obserwacji oszacowano model z 2 zmiennymi objasniajacymi. Liczba reszt dodatnich jest równa liczbie reszt ujemnych. Po przeprowadzeniu dwustronnego testu losowości na poziomie istotności 0,1 stwierdzono ze rozkład składnika losowego jest losowy. Liczba serii mogła wynosić:
2, 4, 5, 9, żadne z nich (Wymagane rozwiązanie)
4. W modelu mamy autokorelacje ujemną rzędu 1. W którym z poniższych ciągów liczbowych spodziewasz się największej ilczby wartości ujemnych:
et -et etet-1 e2t
5. W którym z przypadków spodziewasz się że wyrażenia (et+1 - et)2 przeciętnie będą najmniejsze w liniowym modelu ekonometrycznym:
autokorelacja dodatnia braku autokorelacji autokorelacji ujemnej zjawisko autokorelacji nie ma wpływu na wielkość podanych wyrażeń
ekonometria - zadania
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
janusz55
- Fachowiec
- Posty: 1551
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 2 razy
- Otrzymane podziękowania: 409 razy
Re: ekonometria - zadania
1.
Test istotności współczynnika regresji
Hipotezy:
\( H_{0}: \ \ \alpha_{1} = 0, \)
\( H_{1}: \ \ \alpha_{1} \neq 0,\)
Sprawdzianem testu jest statystyka
\( T = \frac{\alpha_{i}}{S(\alpha_{i})}, \)
która przy prawdziwości hipotezy zerowej ma rozkład t-Studenta z \( \mu = n-k-1 \) stopniami swobody.
Obliczamy wartość tej statystyki dla parametru przy zmiennej \( X_{1}:\)
\( t_{1} = \frac{-10}{1,5} = -6,7.\)
Obliczamy liczbę stopni swobody:
\( \nu = 15 - 3 - 1 = 11. \)
Znajdujemy obszar krytyczny testu:
\( \Theta = \{t: \ \ P(|t|\geq t_{\alpha}) = \alpha \}, \)
Z tablicy rozkładu t-Studenta lub programu komputerowego na przykład R, odczytujemy wartość kwantyla rzędu dla danego współczynnika istotności \( \alpha = 0,05 \) i dla \( 11 \) stopni swobody
Program R
Obszar krytyczny testu
\( Q = \{t: \ \ t\in (-\infty, -2,2 ] \cup [2,2 \ \ +\infty)\}. \)
\( \alpha_{1} = -6,7 \in Q = \{t: \ \ t\in (-\infty, -2,2 ] \cup [2,2 \ \ +\infty)\}. \)
Nie ma podstaw do przyjęcia hipotezy \( H_{0} \) , że parametr przy zmiennej \( X_{1} nieistotnie różni się od \(0, \) i przyjmujemy hipotezę \( H_{1} \) o istotnej zależności tego parametru przy zmiennej \( X_{1}.\)
Odpowiedź I, III.
Proszę przeprowadzić podobny test dla zmiennej {tex] X_{2}.\)
Jeśli dla wszystkich zmiennych objaśniających \( t \geq t_{0,05} ,\) wtedy mamy podstawę do stwierdzenia, że między zmienną objaśnianą, a zmiennymi objaśniającymi zachodzi istotna.
Test istotności współczynnika regresji
Hipotezy:
\( H_{0}: \ \ \alpha_{1} = 0, \)
\( H_{1}: \ \ \alpha_{1} \neq 0,\)
Sprawdzianem testu jest statystyka
\( T = \frac{\alpha_{i}}{S(\alpha_{i})}, \)
która przy prawdziwości hipotezy zerowej ma rozkład t-Studenta z \( \mu = n-k-1 \) stopniami swobody.
Obliczamy wartość tej statystyki dla parametru przy zmiennej \( X_{1}:\)
\( t_{1} = \frac{-10}{1,5} = -6,7.\)
Obliczamy liczbę stopni swobody:
\( \nu = 15 - 3 - 1 = 11. \)
Znajdujemy obszar krytyczny testu:
\( \Theta = \{t: \ \ P(|t|\geq t_{\alpha}) = \alpha \}, \)
Z tablicy rozkładu t-Studenta lub programu komputerowego na przykład R, odczytujemy wartość kwantyla rzędu dla danego współczynnika istotności \( \alpha = 0,05 \) i dla \( 11 \) stopni swobody
Program R
Kod: Zaznacz cały
> qt(0.05/2, 11)
[1] -2.200985
> qt(1 - 0.05/2,11)
[1] 2.200985
Obszar krytyczny testu
\( Q = \{t: \ \ t\in (-\infty, -2,2 ] \cup [2,2 \ \ +\infty)\}. \)
\( \alpha_{1} = -6,7 \in Q = \{t: \ \ t\in (-\infty, -2,2 ] \cup [2,2 \ \ +\infty)\}. \)
Nie ma podstaw do przyjęcia hipotezy \( H_{0} \) , że parametr przy zmiennej \( X_{1} nieistotnie różni się od \(0, \) i przyjmujemy hipotezę \( H_{1} \) o istotnej zależności tego parametru przy zmiennej \( X_{1}.\)
Odpowiedź I, III.
Proszę przeprowadzić podobny test dla zmiennej {tex] X_{2}.\)
Jeśli dla wszystkich zmiennych objaśniających \( t \geq t_{0,05} ,\) wtedy mamy podstawę do stwierdzenia, że między zmienną objaśnianą, a zmiennymi objaśniającymi zachodzi istotna.
-
janusz55
- Fachowiec
- Posty: 1551
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 2 razy
- Otrzymane podziękowania: 409 razy
Re: ekonometria - zadania
Zadanie 3
Test losowości
Dane:
\( n_{A} = n_{B} = \frac{10}{2} = 5.\)
\( \alpha = 0,1.\)
Hipotezy:
\( H_{0}: \) - rozkład składnika losowego jest losowy,
\( H_{1}: \) - rozkład składnika losowego nie jest losowy.
Wyznaczamy liczbę reszt \( L = 5 \) tych samych znaków (+ ) lub (-).
\( n_{A} = n_{B} = 5.\)
Przy prawdziwości hipotezy \( H_{0} \) zmienna losowa \( L \) podlega rozkładowi liczby serii dla \( n_{A}= n_{B} =5.\)
Obzar krytyczny testu jest dwustronny:
\( \textbf Q = \{ L: P(L\leq L_{1}) = \frac{0,1}{2} = 0,05\} \cup \{ L: P(L\leq L_{1}) = \frac{0,1}{2} = 0,05\} = ( -1,64, 1,64).\)
Z tablic dystrybuanty standaryzowanego rozkładu normalnego lub programu komputerowego \( R \)
Program R
Z tablicy serii dla \( \alpha = 0,05 \) i \( n_{A} = n_{B} = 5 \) - odczytujemy liczbę serii \( r^{*} = 3. \)
\( r^{*} = 3 \notin (-1,64 , 1,64) = \textbf Q \) - stwierdzono że rozkład składnika jest losowy.
Zatem liczba serii \( L = 5, \) bo reszt jednego znaku (+) jest \( 5.\)
Odpowiedź:
Liczba serii mogła wynosić \( 5.\)
Test losowości
Dane:
\( n_{A} = n_{B} = \frac{10}{2} = 5.\)
\( \alpha = 0,1.\)
Hipotezy:
\( H_{0}: \) - rozkład składnika losowego jest losowy,
\( H_{1}: \) - rozkład składnika losowego nie jest losowy.
Wyznaczamy liczbę reszt \( L = 5 \) tych samych znaków (+ ) lub (-).
\( n_{A} = n_{B} = 5.\)
Przy prawdziwości hipotezy \( H_{0} \) zmienna losowa \( L \) podlega rozkładowi liczby serii dla \( n_{A}= n_{B} =5.\)
Obzar krytyczny testu jest dwustronny:
\( \textbf Q = \{ L: P(L\leq L_{1}) = \frac{0,1}{2} = 0,05\} \cup \{ L: P(L\leq L_{1}) = \frac{0,1}{2} = 0,05\} = ( -1,64, 1,64).\)
Z tablic dystrybuanty standaryzowanego rozkładu normalnego lub programu komputerowego \( R \)
Program R
Kod: Zaznacz cały
> qnorm(0.05)
[1] -1.644854
> qnorm(0.95)
[1] 1.644854
\( r^{*} = 3 \notin (-1,64 , 1,64) = \textbf Q \) - stwierdzono że rozkład składnika jest losowy.
Zatem liczba serii \( L = 5, \) bo reszt jednego znaku (+) jest \( 5.\)
Odpowiedź:
Liczba serii mogła wynosić \( 5.\)
Re: ekonometria - zadania
To zadanie jest z działu Badanie autokorelacji składnika losowgo.
W modelu mamy autokorelację ujemną rzędu 1. W którym z poniższych ciągów liczbowych spodziewasz się najwi ekszej ilości liczb ujemnych (t=1,2,...,n-1)?
a) et (t z indeksem dolnym)
b) -et (t z indeksem dolnym)
c) etet-1 (t oraz t-1 z indeksem dolnym)
d) et+1 -et (t+1 oraz t indeksem dolnym)
W modelu mamy autokorelację ujemną rzędu 1. W którym z poniższych ciągów liczbowych spodziewasz się najwi ekszej ilości liczb ujemnych (t=1,2,...,n-1)?
a) et (t z indeksem dolnym)
b) -et (t z indeksem dolnym)
c) etet-1 (t oraz t-1 z indeksem dolnym)
d) et+1 -et (t+1 oraz t indeksem dolnym)
-
janusz55
- Fachowiec
- Posty: 1551
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 2 razy
- Otrzymane podziękowania: 409 razy
Re: ekonometria - zadania
\( 1. \ \ (\varepsilon_{t}) = \{ \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \ \ ... \ \ ,\varepsilon_{t-1}\},\)
\( 2. \ \ (-\varepsilon_{t}) = \{ -\varepsilon_{1}, -\varepsilon_{2}, \ \ ... \ \ .-\varepsilon_{t-1}\}, \)
\( 3. \ \ (\varepsilon_{t-1}) = \{\varepsilon_{0}, \varepsilon_{1}, \ \ ...\ \, \varepsilon_{t-2}\}, \)
\( 4. \ \ (\varepsilon_{t-1} -\varepsilon_{t+1}) = \{ (\varepsilon_{0}-\varepsilon_{2}),(\varepsilon_{1}-\varepsilon_{3}), \ \ ... \ \ (\varepsilon_{t-1}-\varepsilon_{t+1} \}.\)
\( \varepsilon_{t} = \rho\cdot \varepsilon_{t-1}+ \xi_{t}, \)
\( \rho - \) - współczynnik korelacji;
\( \xi_{t} \) - składnik losowy.
Biorąc pod uwagę fakt, że dla liniowej - ujemnej autokorelacji współczynnik \( \rho \) jest niedodatni - najwięcej liczb ujemnych, czyli nieparzystych potęg \( \rho \) będzie w ciągu \( 4.\)
\( 2. \ \ (-\varepsilon_{t}) = \{ -\varepsilon_{1}, -\varepsilon_{2}, \ \ ... \ \ .-\varepsilon_{t-1}\}, \)
\( 3. \ \ (\varepsilon_{t-1}) = \{\varepsilon_{0}, \varepsilon_{1}, \ \ ...\ \, \varepsilon_{t-2}\}, \)
\( 4. \ \ (\varepsilon_{t-1} -\varepsilon_{t+1}) = \{ (\varepsilon_{0}-\varepsilon_{2}),(\varepsilon_{1}-\varepsilon_{3}), \ \ ... \ \ (\varepsilon_{t-1}-\varepsilon_{t+1} \}.\)
\( \varepsilon_{t} = \rho\cdot \varepsilon_{t-1}+ \xi_{t}, \)
\( \rho - \) - współczynnik korelacji;
\( \xi_{t} \) - składnik losowy.
Biorąc pod uwagę fakt, że dla liniowej - ujemnej autokorelacji współczynnik \( \rho \) jest niedodatni - najwięcej liczb ujemnych, czyli nieparzystych potęg \( \rho \) będzie w ciągu \( 4.\)
-
janusz55
- Fachowiec
- Posty: 1551
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 2 razy
- Otrzymane podziękowania: 409 razy
Re: ekonometria - zadania
Zadanie 2
Zadanie 2
Test normalności Z. Hellwiga
Test bazuje na fakcie, że dystrybuanta rozkładu ciągłego na odcinkach ma rozkład jednostajny.
Rozważmy próbę złożoną z \( n=15 \) niezależnych obserwacji wylosowanych z populacji
o ciągłej dystrybuancie \( F:\ \ x_{1}, ..., x_{15}. \)
Weryfikujemy hipotezę \( H_{0}: \) wektor reszt ma rozkład normalny \( \mathcal{N}(0, S_{\varepsilon})\)
Konstruujemy cele, dzieląc odcinek \( [0, 1] \) na \( 15 \) rozłącznych odcinków o długości \( \frac{1}{15}.\)
\( \left[ 0, \frac{1}{15}\right),\left[ \frac{1}{15}, \frac{2}{15}\right), \left[ \frac{2}{15}, \frac{3}{15}\right), \ \ ...\ \ \left[ \frac{14}{15}, 1\right).\)
Wyznaczamy wartości dystrybuanty hipotetycznej \( F(e_{i}) \) dla wszystkich wartości reszt \( i = 1,2,...,15\)
W treści zadania nie podano wartości reszt w związku z tym nie będziemy sprawdzali do których cel należą wartości dystrybuanty \( F(e_{i}, i=1,...,15.\)
Za to podano informację:
"Po przeprowadzeniu dwustronnego testu Hellwiga na poziomie istotności \(\alpha = 0,1 \) stwierdzono że rozkład składnika losowego jest normalny." Czyli prawdziwa jest hipoteza \( H_{0}.\)
\( \Theta = \{k: \ \ P(k\leq k_{1}) = \frac{0,1}{2}= 0,05\} \cup \{k: \ \ P(k\geq k_{2})= \frac{0,1}{2} = 0,05 \} \)
Z tablicy wartości krytycznych testu Hellwiga dla \( n= 15 \) i \( \alpha = 0,05\) odczytujemy przedział \( [3, 7].\)
Zatem liczba pustych cel mogła wynosić \( 5.\)
Odpowiedź: \( 5.\)
Zadanie 2
Test normalności Z. Hellwiga
Test bazuje na fakcie, że dystrybuanta rozkładu ciągłego na odcinkach ma rozkład jednostajny.
Rozważmy próbę złożoną z \( n=15 \) niezależnych obserwacji wylosowanych z populacji
o ciągłej dystrybuancie \( F:\ \ x_{1}, ..., x_{15}. \)
Weryfikujemy hipotezę \( H_{0}: \) wektor reszt ma rozkład normalny \( \mathcal{N}(0, S_{\varepsilon})\)
Konstruujemy cele, dzieląc odcinek \( [0, 1] \) na \( 15 \) rozłącznych odcinków o długości \( \frac{1}{15}.\)
\( \left[ 0, \frac{1}{15}\right),\left[ \frac{1}{15}, \frac{2}{15}\right), \left[ \frac{2}{15}, \frac{3}{15}\right), \ \ ...\ \ \left[ \frac{14}{15}, 1\right).\)
Wyznaczamy wartości dystrybuanty hipotetycznej \( F(e_{i}) \) dla wszystkich wartości reszt \( i = 1,2,...,15\)
W treści zadania nie podano wartości reszt w związku z tym nie będziemy sprawdzali do których cel należą wartości dystrybuanty \( F(e_{i}, i=1,...,15.\)
Za to podano informację:
"Po przeprowadzeniu dwustronnego testu Hellwiga na poziomie istotności \(\alpha = 0,1 \) stwierdzono że rozkład składnika losowego jest normalny." Czyli prawdziwa jest hipoteza \( H_{0}.\)
\( \Theta = \{k: \ \ P(k\leq k_{1}) = \frac{0,1}{2}= 0,05\} \cup \{k: \ \ P(k\geq k_{2})= \frac{0,1}{2} = 0,05 \} \)
Z tablicy wartości krytycznych testu Hellwiga dla \( n= 15 \) i \( \alpha = 0,05\) odczytujemy przedział \( [3, 7].\)
Zatem liczba pustych cel mogła wynosić \( 5.\)
Odpowiedź: \( 5.\)