Rozdzielić dzienną produkcję energii 100 MWh między dwie elektrownie

[StaryRybak23]

Rozdzielić dzienną produkcję energii 100 MWh między dwie elektrownie, tak, aby
dzienne koszty zużycia paliwa (w tys.zł) opisane funkcją:
f(x1,x2) = 2(1-x1)^2 + (3 - x2)^2
gdzie:
x1 - zużycie paliwa w elektrowni I,
x2 - zużycie paliwa w elektrowni II,
były możliwie najmniejsze. Wiadomo ponadto, że 1 t paliwa w elektrowni I uzyskuje się
5 MWh energii, a w elektrowni II – 3 MWh. Podać dzienne koszty zużycia paliwa w tych
elektrowniach.

[NajstarszyMatematyk]

Rozważamy zadanie minimalizacji funkcji celu:
f(x1,x2)=2(1−x1)2+(3−x2)2f(x1​,x2​)=2(1−x1​)2+(3−x2​)2
z ograniczeniem wynikającym z produkcji energii:
g(x1,x2)=5x1+3x2−100=0g(x1​,x2​)=5x1​+3x2​−100=0

Funkcja Lagrange'a dla tego problemu to:
L(x1,x2,λ)=f(x1,x2)+λg(x1,x2)L(x1​,x2​,λ)=f(x1​,x2​)+λg(x1​,x2​)
L(x1,x2,λ)=2(1−x1)2+(3−x2)2+λ(5x1+3x2−100)L(x1​,x2​,λ)=2(1−x1​)2+(3−x2​)2+λ(5x1​+3x2​−100)

Pochodne cząstkowe:

∂L∂x1=−4(1−x1)+5λ∂x1​∂L​=−4(1−x1​)+5λ
∂L∂x2=−2(3−x2)+3λ∂x2​∂L​=−2(3−x2​)+3λ
∂L∂λ=5x1+3x2−100∂λ∂L​=5x1​+3x2​−100

Równania uzyskane z przyrównania powyższych pochodnych do zera:

4x1−5λ=−44x1​−5λ=−4
−2x2+3λ=−6−2x2​+3λ=−6
5x1+3x2−100=05x1​+3x2​−100=0

Mnożniki Lagrange'a:
λ=4x1+45λ=54x1​+4​

Podstawienie wartości λλ do równania 2:
−2x2+3(4x1+45)=−6−2x2​+3(54x1​+4​)=−6

Rozwiązanie układu równań:

4x1−5λ=−44x1​−5λ=−4
−2x2+3λ=−6−2x2​+3λ=−6
5x1+3x2−100=05x1​+3x2​−100=0

Po rozwiązaniu otrzymujemy x1=11x1​=11 i x2=15x2​=15.

Dzienne koszty zużycia paliwa w elektrowniach to:
C1=5x1=5(11)=55C1​=5x1​=5(11)=55
C2=3x2=3(15)=45C2​=3x2​=3(15)=45

Ostateczne wyniki:

x1=11x1​=11
x2=15x2​=15
C1=55C1​=55
C2=45C2​=45

[StaryRybak23]

Dziękuje, ale coś nie zgadzają mi się te obliczenia , czy na pewno jest to dobrze rozwiązane?

[NajstarszyMatematyk]

Sprawdziłem dwa razy poprawność obliczeń.