Znajdź najmniejsze b takie, że

[anilewe_MM]

\( \frac{5}{31} < \frac{a}{b} < \frac{7}{43} \), gdzie a, b są całkowite dodatnie

[Jerry]

Zachodzą, kolejno, porządki:
\[5<6<7\\
{1\over5}>{1\over6}>{1\over7}\quad|+6\\
6{1\over5}>6{1\over6}>6{1\over7}\\
{31\over5}>{37\over6}>{43\over7}\\
{5\over31}<{6\over37}<{7\over43}\]
Wg mnie najmniejsze \(b=37\).

Pozdrawiam

[Icanseepeace]

Zachodzą, kolejno, porządki:
\[5<6<7\\
{1\over5}>{1\over6}>{1\over7}\quad|+6\\
6{1\over5}>6{1\over6}>6{1\over7}\\
{31\over5}>{37\over6}>{43\over7}\\
{5\over31}<{6\over37}<{7\over43}\]
Wg mnie najmniejsze \(b=37\).

Pozdrawiam

Trochę naciągane.
Znalezienie Jednej wartości wcale nie świadczy o tym, że jest ona najmniejsza.
Chyba, że czegoś nie widzę.

[Jerry]

Wg mnie najmniejsze \(b=37\).

Wskazałem prawdziwy porządek i wyraziłem swoje zdanie w dyskutowanym problemie. A nie muszę być nieomylnym!

Pozdrawiam

[Icanseepeace]

Wg mnie najmniejsze \(b=37\).

Wskazałem prawdziwy porządek i wyraziłem swoje zdanie w dyskutowanym problemie. A nie muszę być nieomylnym!

Pozdrawiam

Chyba się troszkę nie zrozumieliśmy.
Zaczynając od prawdziwej nierówności udało CI się dojść do liczby o mianowniku \( b = 37 \).
Tego nie kwestionuje i faktycznie jest to najmniejsza liczba naturalna która spełnia warunki zadania.
Moje pytanie brzmi:
Dlaczego wybranie takiego właśnie porządku gwarantuje najmniejszą wartość b.
Nigdzie nie widzę próby uzasadnienia, że mniejszej po prostu nie ma( a jak wiemy liczb wymiernych w tym przedziale jest \( \aleph_0 \)

[janusz55]

Pani Anna na Forum matematyka.pl w dniu 1 Października 2012 roku o godzinie 18.20 dała trafną odpowiedź: " wszystkich rozwiązań nie da się wyznaczyć, bo jest ich nieskończenie wiele ..."

[Jerry]

Pani Anna na Forum matematyka.pl w dniu 1 Października 2012 roku o godzinie 18.20 dała trafną odpowiedź: " wszystkich rozwiązań nie da się wyznaczyć, bo jest ich nieskończenie wiele ..."

Nigdzie nie widzę próby uzasadnienia, że mniejszej po prostu nie ma( a jak wiemy liczb wymiernych w tym przedziale jest \( \aleph_0 \)

Przypomnę, zwłaszcza czytelnikowi postów p. Anny, że nie szukamy najmniejszego ułamka, tylko najmniejszego mianownika ułamka spełniającego warunki zadania!

Dlaczego wybranie takiego właśnie porządku gwarantuje najmniejszą wartość b.

To trochę z mojej kuchni:

• Wskazanie wspólnego mianownika \(1333\) w wyjściowej nierówności było dla mnie oczywiste (tak jak i to, że nie jest to oczekiwana wartość),
• zainteresowałem się porządkiem pomiędzy odwrotnościami ułamków ograniczających \({b\over a}\),
• doprowadziło mnie to do \({1\over5}>{b_1\over a_1}>{1\over7}\),
• wiele ułamków spełnia ten porządek, ale tym o najmniejszym liczniku i dosyć oczywistym, jest \({1\over6}\),
• zapisałem moje rozumowanie, jak to mam w zwyczaju dla analizy redukcyjnej, jak w poście powyżej.

Pozdrawiam
PS. Dziękuję za potwierdzenie skuteczności mojej intuicji!

[janusz55]

Nie jestem czytelnikiem postów Pani Anny, Pani Anna ma rację.

Intuicja Pana zawodzi. To nie szkodzi, czy szukamy pełnych ułamków, czy ułamków z określonym mianownikiem \( b.\)

[anka]

Tu Irena dała rozwiązanie:
https://forum.zadania.info/viewtopic.php?f=25&t=9553

A na matematyka.pl, gdyby nie przykład Kama_, to nie podałabym tej poprawnej odpowiedzi.

[anilewe_MM]

Ale odpowiedź 37 jest poprawna, mój nauczyciel ją przyjął