równanie trygonometryczne

[lovetka]

Cześć, mam problem z zadaniem: Rozwiąż równanie \(\cos2x = 2\sqrt2(\cos x − \sin x)\) w przedziale \(\langle 0, π \rangle\).
Doszłam do momentu: \(\sin( \frac{π}{2} - 2x) =\ sin( \frac{π}{4} - x)\), porównałam dwa kąty i odpowiedź wyszła mi częściowo poprawna: \(x = \frac{π}{4}\), ale okazuje się, że jest jeszcze jeden poprawny wynik. Gdybym nie chciała korzystać z wzorów trygonometrycznych (m.in. sumy, różnice i iloczyny funkcji trygonometrycznych), to w jaki sposób powinnam poprawnie porównać dwa kąty, aby wyszły mi dwa wyniki, a nie jeden?

[Jerry]

\[\sin\alpha=\sin\beta\\
(\alpha=\beta+k\cdot2\pi\quad\vee\quad\alpha=\pi-\beta+k\cdot2\pi)\wedge k\in\zz\]

Jeżeli rzeczywiście
\[\sin\left( \frac{\pi}{2} - 2x\right) = \sin\left( \frac{\pi}{4} - x\right)\]
to
\[\left( \frac{\pi}{2} - 2x = \frac{\pi}{4} - x+k\cdot2\pi\quad\vee\quad \frac{\pi}{2} - 2x = \pi- \frac{\pi}{4} + x+k\cdot2\pi\right)\wedge k\in\zz\\
\left( x = \frac{\pi}{4}+k\cdot2\pi\quad\vee \quad x = - \frac{\pi}{12} +k\cdot{2\pi\over3}\right)\wedge k\in\zz\\
x\in [0;\pi]\So x\in\left\{\frac{\pi}{4},\ \frac{7\pi}{12}\right\}\]
Pozdrawiam
PS. Wg mnie nie podałaś nam oryginalnego równania, bo dla
\[\cos2x = 2\sqrt2(\cos x − \sin x)\\ \cos^2x-\sin^2x = 2\sqrt2(\cos x − \sin x)\\
\cos x − \sin x=0\qquad\vee\qquad \cos x+\sin x = 2\sqrt2\\
\left(x={\pi\over4}+k\cdot\pi\qquad\vee\qquad \color{red}{x\in\emptyset}\right)\wedge k\in\zz\]
Fakt:\[\bigwedge\limits_{x\in\rr}\cos x+\sin x\le\sqrt2\]

[lovetka]

Bardzo dziękuję Panu za pomoc. Fakt, błędnie przepisałam równanie z zadania . Oryginalna wersja to:

\(\cos2x = {\sqrt2\over2} (\cos x − \sin x)\).