Relacje

[Matip2003]

Hej, mam do sprawdzenia własności danej relacji
zbiór R^2-{0}
xSy <=> log1/2|x/y|=0
rozwiązałem zwrotność i symetryczność i wyszły obie prawdy, ale nie wiem jak rozwiązać przechodniość (podstawiłem x=1, y=-1, ale co dać za z? żeby miało to sens)
Z góry dzięki za pomoc

[janusz55]

Przechodniość relacji \( S: \)

\( (xSy \wedge ySz) \rightarrow xSz.\)

\( xSy \leftrightarrow \log_{\frac{1}{2}}\left|\frac{x}{y}\right|=0. \)

\( ySz \leftrightarrow \log_{\frac{1}{2}}\left|\frac{y}{z}\right|=0. \)

\( xSz \leftrightarrow \log_{\frac{1}{2}}\left|\frac{x}{z}\right|=0. \)

Z równości

\( \left|\frac{x}{y}\right|\cdot \left|\frac{y}{z}\right| = \left|\frac{x}{z} \right| \) i własności logarytmu

\( \log_{\frac{1}{2}} \left(\left|\frac{x}{y}\cdot \frac{y}{z}\right| \right) = \log_{\frac{1}{2}} \left(\left|\frac{x}{y}\right|\right) + \log_{\frac{1}{2}} \left(\left|\frac{y}{z}\right|\right) = \log_{\frac{1}{2}} \left(\left|\frac{x}{z}\right|\right) = 0 + 0 = 0.\)

\( \Box\)

[Matip2003]

Dziękuję za pomoc!
Mógłbym się jeszcze tylko dowiedzieć z czego wynika ta równość?

[janusz55]

Z zapisu iloczynu wartości bezwględnych:

\( \left|\frac{x}{y}\right|\cdot \left|\frac{y}{z}\right| = \left|\frac{x}{z} \right|\)

i własności logarytmu:

\( \log_{p}(a\cdot b) = \log_{p}(a) + \log_{p}(b), \ \ p>0, \ \ p\neq 1, \ \ a, b >0.\)