Skomplikowana nierówność

[mosdef21]

Udowodnij nierówność:
\(x-x^3<\sin x<x\) dla \(x>0\).

[kerajs]

Rozwiń sinus w szereg Taylora i będziesz od razu miał odpowiedź.

[mosdef21]

A nie ma sposobu na poziomie szkoły średniej?

[radagast]

Narysuj dokładnie wykresy wszystkich trzech funkcji

[mosdef21]

A nie ma "obliczeniowego" sposobu?

[radagast]

Obawiam się , że na poziomie szkoły średniej nie. Chyba ,że jakiś pomysł, którego na razie nie mamy

[Icanseepeace]

Nierówność \( \sin (x) < x \) to nierówność Jordana której dowód można łatwo znaleźć( rozszerzenie poza przedział \( (0 , \frac{\pi}{2}) \) jest trywialne). Do uzasadnienia \( x - x^3 < \sin (x) \) dla \( x > 0 \) można posłużyć się pochodną.
Zdefiniuj sobie funkcję \( f(x) = \sin(x) + x^3 - x \) i zobacz jaki jest znak pochodnej dla \( x > 0 \)

[Jerry]

Nierówność \(\sin x<x\), jak napisał Icanseepeace , można dowieść na wiele sposobów i potraktuję ją jako prawdziwą!

... Zdefiniuj sobie funkcję \( f(x) = \sin(x) + x^3 - x \) i zobacz jaki jest znak pochodnej dla \( x > 0 \)

To trochę powyżej szkoły ponadpodstawowej, ale ogarnialne...

1. \(\Lim_{x\to0^+}f(x)=0\)
2. \(y'=f'(x)=\cos x+3x^2-1\)
3. \(\Lim_{x\to0^+}f'(x)=0\)
4. \(y''=f''(x)=-\sin x+6x=(x-\sin x)+5x\nad{\text{z } \sin x<x}{>}0+5x>0\),
   zatem \(f'\nearrow\rr_+\), czyli \(\bigwedge\limits_{x\in\rr_+}f'(x)>0\)
5. z 4.: \(f\nearrow\rr_+\) i z 1.: \(\bigwedge\limits_{x\in\rr_+}f(x)>0\). CKD

Pozdrawiam

[janusz55]

\( x - x^3 < \sin(x) < x, \ \ x>0.\)

Dowód

Niech \( \phi(x) = x - x^3, \ \ \psi(x) = \sin(x), \ \ \eta(x) = x.\)

Mamy \( \phi(0) = \psi(0) = \eta(0) = 0, \)

\( \phi'(x) = 1 - 3x^2, \)

\( \psi'(x) = \cos(x), \)

\( \eta'(x) = 1. \)

Zachodzą nierówności:

\( \phi'(x)< \psi'(x) < \eta'(x) \)

\( 1 - 3x^2 < \cos(x) < 1,\)

dla

\( x>0 \) i \( x\neq 2k\pi, \ \ k = 1,2,...,\)

oraz

dla \( x = 2k\pi \)

\( 2k\pi - 8k^3\pi^3 <1 < 2k\pi, \ \ k=1,2,..., \)

\( 2k\pi\left( 1 - 4k^2\pi^2\right) < 1 < 2k\pi,\)

to jest

\( \phi(2k\pi) < \psi(2k\pi) < \eta(2k\pi), \ \ k=1,2,...\)

\( \Box \)

Uwaga.
Do pełności dowodu tych nierówności brakuje powołania się na lemat:

Jeśli funkcje \( \phi(x), \psi(x) \) są przynajmniej \( n \) krotnie różniczkowalne i \( \phi^{(k)}(x_{0}) = \psi^{(k)}(x_{0}) \) dla \( k = 0,1,2,...,(n-1) \) i \( \phi^{(n)}(x) > \psi^{(n)}(x) \) dla \( x> x_{0}, \)
to prawdziwa jest nierówność: \( \phi(x) > \psi(x), \) dla \( x>x_{0}.\)

Dowód lematu wynika z Twierdzenia Lagrange'a o średniej.

Uczniowie w szkole średniej nie muszą znać tego lematu. Muszą natomiast umieć obliczać tylko pierwsze pochodne prostych funkcji elementarnych.

[Jerry]

Pomiędzy:

Narysuj dokładnie wykresy wszystkich trzech funkcji

https://www.desmos.com/calculator/bh3c2yq7xy

Rozwiń sinus w szereg Taylora i będziesz od razu miał odpowiedź.

znaleźć można wiele dowodów danej nierówności... Ale bez przesady

Pozdrawiam