Skomplikowana nierówność
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
- Stały bywalec
- Posty: 440
- Rejestracja: 03 kwie 2021, 21:36
- Podziękowania: 6 razy
- Otrzymane podziękowania: 253 razy
- Płeć:
Re: Skomplikowana nierówność
Nierówność \( \sin (x) < x \) to nierówność Jordana której dowód można łatwo znaleźć( rozszerzenie poza przedział \( (0 , \frac{\pi}{2}) \) jest trywialne). Do uzasadnienia \( x - x^3 < \sin (x) \) dla \( x > 0 \) można posłużyć się pochodną.
Zdefiniuj sobie funkcję \( f(x) = \sin(x) + x^3 - x \) i zobacz jaki jest znak pochodnej dla \( x > 0 \)
Zdefiniuj sobie funkcję \( f(x) = \sin(x) + x^3 - x \) i zobacz jaki jest znak pochodnej dla \( x > 0 \)
- Jerry
- Expert
- Posty: 3715
- Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
- Podziękowania: 52 razy
- Otrzymane podziękowania: 2007 razy
Re: Skomplikowana nierówność
Nierówność \(\sin x<x\), jak napisał Icanseepeace , można dowieść na wiele sposobów i potraktuję ją jako prawdziwą!
To trochę powyżej szkoły ponadpodstawowej, ale ogarnialne...Icanseepeace pisze: ↑21 wrz 2023, 16:59 ... Zdefiniuj sobie funkcję \( f(x) = \sin(x) + x^3 - x \) i zobacz jaki jest znak pochodnej dla \( x > 0 \)
- \(\Lim_{x\to0^+}f(x)=0\)
- \(y'=f'(x)=\cos x+3x^2-1\)
- \(\Lim_{x\to0^+}f'(x)=0\)
- \(y''=f''(x)=-\sin x+6x=(x-\sin x)+5x\nad{\text{z } \sin x<x}{>}0+5x>0\),
zatem \(f'\nearrow\rr_+\), czyli \(\bigwedge\limits_{x\in\rr_+}f'(x)>0\) - z 4.: \(f\nearrow\rr_+\) i z 1.: \(\bigwedge\limits_{x\in\rr_+}f(x)>0\). CKD
-
- Fachowiec
- Posty: 1920
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 4 razy
- Otrzymane podziękowania: 459 razy
Re: Skomplikowana nierówność
\( x - x^3 < \sin(x) < x, \ \ x>0.\)
Dowód
Niech \( \phi(x) = x - x^3, \ \ \psi(x) = \sin(x), \ \ \eta(x) = x.\)
Mamy \( \phi(0) = \psi(0) = \eta(0) = 0, \)
\( \phi'(x) = 1 - 3x^2, \)
\( \psi'(x) = \cos(x), \)
\( \eta'(x) = 1. \)
Zachodzą nierówności:
\( \phi'(x)< \psi'(x) < \eta'(x) \)
\( 1 - 3x^2 < \cos(x) < 1,\)
dla
\( x>0 \) i \( x\neq 2k\pi, \ \ k = 1,2,...,\)
oraz
dla \( x = 2k\pi \)
\( 2k\pi - 8k^3\pi^3 <1 < 2k\pi, \ \ k=1,2,..., \)
\( 2k\pi\left( 1 - 4k^2\pi^2\right) < 1 < 2k\pi,\)
to jest
\( \phi(2k\pi) < \psi(2k\pi) < \eta(2k\pi), \ \ k=1,2,...\)
\( \Box \)
Uwaga.
Do pełności dowodu tych nierówności brakuje powołania się na lemat:
Jeśli funkcje \( \phi(x), \psi(x) \) są przynajmniej \( n \) krotnie różniczkowalne i \( \phi^{(k)}(x_{0}) = \psi^{(k)}(x_{0}) \) dla \( k = 0,1,2,...,(n-1) \) i \( \phi^{(n)}(x) > \psi^{(n)}(x) \) dla \( x> x_{0}, \)
to prawdziwa jest nierówność: \( \phi(x) > \psi(x), \) dla \( x>x_{0}.\)
Dowód lematu wynika z Twierdzenia Lagrange'a o średniej.
Uczniowie w szkole średniej nie muszą znać tego lematu. Muszą natomiast umieć obliczać tylko pierwsze pochodne prostych funkcji elementarnych.
Dowód
Niech \( \phi(x) = x - x^3, \ \ \psi(x) = \sin(x), \ \ \eta(x) = x.\)
Mamy \( \phi(0) = \psi(0) = \eta(0) = 0, \)
\( \phi'(x) = 1 - 3x^2, \)
\( \psi'(x) = \cos(x), \)
\( \eta'(x) = 1. \)
Zachodzą nierówności:
\( \phi'(x)< \psi'(x) < \eta'(x) \)
\( 1 - 3x^2 < \cos(x) < 1,\)
dla
\( x>0 \) i \( x\neq 2k\pi, \ \ k = 1,2,...,\)
oraz
dla \( x = 2k\pi \)
\( 2k\pi - 8k^3\pi^3 <1 < 2k\pi, \ \ k=1,2,..., \)
\( 2k\pi\left( 1 - 4k^2\pi^2\right) < 1 < 2k\pi,\)
to jest
\( \phi(2k\pi) < \psi(2k\pi) < \eta(2k\pi), \ \ k=1,2,...\)
\( \Box \)
Uwaga.
Do pełności dowodu tych nierówności brakuje powołania się na lemat:
Jeśli funkcje \( \phi(x), \psi(x) \) są przynajmniej \( n \) krotnie różniczkowalne i \( \phi^{(k)}(x_{0}) = \psi^{(k)}(x_{0}) \) dla \( k = 0,1,2,...,(n-1) \) i \( \phi^{(n)}(x) > \psi^{(n)}(x) \) dla \( x> x_{0}, \)
to prawdziwa jest nierówność: \( \phi(x) > \psi(x), \) dla \( x>x_{0}.\)
Dowód lematu wynika z Twierdzenia Lagrange'a o średniej.
Uczniowie w szkole średniej nie muszą znać tego lematu. Muszą natomiast umieć obliczać tylko pierwsze pochodne prostych funkcji elementarnych.
- Jerry
- Expert
- Posty: 3715
- Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
- Podziękowania: 52 razy
- Otrzymane podziękowania: 2007 razy
Re: Skomplikowana nierówność
Pomiędzy:
Pozdrawiam
https://www.desmos.com/calculator/bh3c2yq7xy
znaleźć można wiele dowodów danej nierówności... Ale bez przesady
Pozdrawiam