Największa i najmniejsza wartość funkcji wielu zmiennych

[Matyldas]

Cześć:)
Mam zapytanie odnoście równania w zadaniu Oblicz największą i najmniejszą wartość funkcji \(f(x,y)= x+\ln(4-x-y^2)\) ograniczonymi funkcjami \(x=0\) oraz \(y^2+x=1\).
Robiąc tego typu zadanie zaczynamy od rysunku, który zrobiłam a następnie liczymy pochodne po \(y \) i \(x\).
Pochodne po \(x\): \(1- \frac{1}{4-x-y^2}\) po \(y\): \(\frac{-2y}{4-x-y^2} \)
Następnie przechodzimy do przyrównania obu pochodnych do \(0\) i rozwiązania równania.
Nie wychodzi mi to równanie.( znaczy wynik wyszedł mi \(y=0\) \(x=3\) ale chyba coś mi tu nie pasuje)Nie wiem co robię złe, ale niestety nie mogę obliczyć \(x\) oraz \(y\).
Czy w takim przypadku, pomijam liczenie punktu stacjonarnego i zabieram się za brzegi, czy zostawiam zadanie? Pozdrawiam:)

[janusz55]

Znajdujemy najpierw ekstremum lokalne funkcji \( f(x,y) = x + \ln(4 -x-y^2) \) wewnątrz obszaru ograniczonego funkcjami \( x=0, \) i \( x = 1 -y^2. \)
Potem na brzegach tego obszaru (jako funkcje jednej zmiennej). Wybieramy wartości najmniejszą i największą.

Proszę nauczyć się pisania w \( \LaTeX.\)

[radagast]

Ja tylko poprawię pisownię:

Cześć:)
Mam zapytanie odnoście równania w zadaniu Oblicz największą i najmniejszą wartość funkcji \(f(x,y)= x+ln(4-x-y^2)\) ograniczonymi funkcjami \(x=0\) oraz \(y^2+x=1\).
Robiąc tego typu zadanie zaczynamy od rysunku, który zrobiłam a następnie liczymy pochodne po \(y\) i \(x\).
Pochodne po x: \(1- \frac{1}{4-x-y^2} \) po y: \(- \frac{2y}{4-x-y^2} \)
Następnie przechodzimy do przyrównania obu pochodnych do 0 i rozwiązania równania.
Nie wychodzi mi to równanie.( znaczy wynik wyszedł mi \(y=0\) \(x=3\) ale chyba coś mi tu nie pasuje)Nie wiem co robię złe, ale niestety nie mogę obliczyć \(x\) oraz \(y\).
Czy w takim przypadku, pomijam liczenie punktu stacjonarnego i zabieram się za brzegi, czy zostawiam zadanie? Pozdrawiam:)

[Matyldas]

Dziękuję za poprawienie, niestety na telefonie nie wiem jak mam poprawie zapisywać:( Czyli dobrze rozumiem, niekoniecznie przyrównywać pochodne tej funkcji z polecenia do 0?

[janusz55]

Dziedziną funkcji \( f(x,y) = x +ln(4-x -y^2) \) jest zbiór \( \{ (x, y): x\in \rr \wedge 4 - x -y^2 >0 \}. \)

Poprawnie obliczyła Pani współrzędne punktu \( (3, 0) \) podejrzanego o ekstremum lokalne funkcji \( f(x,y). \) Punkt ten nie należy do obszaru ograniczonego parabolą \( x = 1-y^2\) i osią \( Oy, \ \ (x=0),\) chociaż należy do dziedziny tej funkcji.

Proszę podstawić \( x = 0 \) do wzoru funkcji \( f(x,y) \) i obliczyć wartość największą i najmniejszą funkcji \( f_{1}(y) \) na odcinku \( y \in [-1, 1].\)

Proszę podstawić \( x = 1 -y^2 \) do wzoru funkcji \( f(x,y) \) i obliczyć wartość najmniejszą i największą funkcji \( f_{2}(y) \) na paraboli ograniczonej osią \( Oy \) i częścią jej wykresu zawartą pomiędzy punktami \( (1, 0), \ \ (0, -1). \)

[Matyldas]

Najmniejsza wartość: ln(3)
Największa:1+ln(3)?:)

[janusz55]

Dobrze!

Należało też uwzględnić ekstrema lokalne funkcji \( f_{1}(y), f_{2}(y) \) rozwiązując równania: \( f'_{1}(y) = 0, \ \ f'_{2}(y) = 0 \) i badając np. znaki \( f"_{1}(y*) , \ \ f"_{2}(y*) .\)

Otrzymujemy wtedy dwa maksima lokalne \( f_{1maks.lok.} (0) = \ln(4), \ \ f_{2maks.lok.}(0) = 1+\ln(3).\)

[Matyldas]

Super! Dziękuję Panu pięknie !:)
Życzę udanej i spokojnej niedzieli.

[janusz55]

Dziękuję, wzajemnie.