Zbadać ilość rozwiązań

[mosdef21]

Zbadać ilość rozwiązań w zależności od parametru m
\( \frac{x^2}{|x|-1}=|m| \)
nie chodzi mnie o metodę rysowania wykresów i robienia tzw "windy".

[Taotao2]

Doszedłem do czegoś takiego \(x^{2}-\left|m\right|\cdot\left(\left|x\right|-1\right)=0\) czyli \(x^2-|m||x|+m=0\) i z tego delta to \( \Delta =m^2-4m\). Czy to jest dobrze czy jest coś łatwiejszego i szybszego?

[eresh]

Doszedłem do czegoś takiego \(x^{2}-\left|m\right|\cdot\left(\left|x\right|-1\right)=0\) czyli \(x^2-|m||x|+m=0\) i z tego delta to \( \Delta =m^2-4m\). Czy to jest dobrze czy jest coś łatwiejszego i szybszego?

Trzeba rozważyć przypadki:
1.\(|x|-1\neq 0\) oraz \(|x|-1>0\) oraz \(x=0\) - wtedy mamy do czynienia z równaniem kwadratowym.
2. \(|x|-1\leq 0\;\;\wedge x\neq 0
\) - wtedy równanie jest sprzeczne

[Jerry]

Po PW:

Jerry a powiesz mi jak rozpisać te przypadki które podała eresh

Wg mnie można, przepraszam eresh, tak:
Zauważmy, że równanie
\[\frac{x^2}{|x|-1}=|m|\qquad(*)\]

1. dla \(m=0\So x=0\), czyli ma jeden pierwiastek
2. dla \(x\in[-1;1]\) równanie nie istnieje albo jest sprzeczne - równość liczby ujemnej i nieujemnej nie zachodzi

Rozpatrzmy równanie
\[\frac{t^2}{t-1}=p\text{ , gdzie } |x|=t>1\wedge |m|=p>0\]
które jest równoważne
\[t^2-pt+p=0\qquad(**)\]

1. Jeżeli równanie \((**)\) ma dwa rozwiązania większe od \(1\), to równanie \((*)\) ma cztery rozwiązania:
   \[\begin{cases}p^2-4p>0\\ (t_1-1)(t_2-1)>0\\(t_1-1)+(t_2-1)>0\end{cases}\]
2. Jeżeli równanie \((**)\) ma jedno rozwiązanie większe od \(1\), to równanie \((*)\) ma dwa rozwiązania:
   \[\begin{cases}p^2-4p=0\\ t_0>1\end{cases}\vee\begin{cases}p^2-4p>0\\ (t_1-1)(t_2-1)\le0\\(t_1-1)+(t_2-1)>0\end{cases}\]
3. Jeżeli równanie \((**)\) ma nie ma rozwiązań albo wszystkie niewiększe od \(1\), to równanie \((*)\) nie ma rozwiązań:
   \[p^2-4p<0\vee \begin{cases}p^2-4p\ge0\\ (t_1-1)(t_2-1)\ge0\\(t_1-1)+(t_2-1)\le0\end{cases}\]

Pozostaje rozwiązać (z wykorzystaniem wzorów Viete'a), zebrać odpowiedzi i wrócić do parametru \(m\)...

Pozdrawiam
PS. Czemu nie podoba Ci się "winda" Idzie szybciej i trudniej się pomylić

[mosdef21]

Bo nie umiem takiej funkcji naszkicować.

[Jerry]

Nie miałeś jeszcze pochodnej? Za chwilę poznasz...

Pozdrawiam

[mosdef21]

A ty potrafisz naszkicować pochodną tej funkcji? Czy badasz jakieś jej własności i po tym wnioskujesz?

[Jerry]

Najprościej:
wykorzystując Desmos;
uczenie:
zauważając (i wykorzystując na końcu) parzystość funkcji lewej strony równania - rozpatrzeć funkcję:
\(y=f(x)=\frac{x^2}{x-1}\) określoną dla \(x\in[0;1)\cup(1;+\infty)\)
i

• granice w kresach przedziałów określoności
• pochodna
• warunek konieczny i dostateczny istnienia ekstremów; przedziały monotoniczności
• szkic wykresu
• odbić symetrycznie względem osi rzędnych

Pozdrawiam

[Taotao2]

A możesz przedstawić poszczególne etapy co wychodzi?

[Jerry]

A możesz przedstawić poszczególne etapy co wychodzi?

Jeśli to pytanie do mnie, to:

• \(f(0)=0\\ \Lim_{x\to1^-}\frac{x^2}{x-1}=-\infty\\\Lim_{x\to1^+}\frac{x^2}{x-1}=+\infty\\ \Lim_{x\to-\infty}\frac{x^2}{x-1}=+\infty\)
• \(y'=f'(x)=\frac{x}{(x-1)^2}\cdot(x-2)\wedge D'=(0;1)\cup(1;+\infty)\)
• WKIE: \(y'=0\iff x=2\)
  WDIE: \(f\searrow(0;1)\wedge f\searrow(1;2]\wedge f\nearrow[2;+\infty)\)
  \(\qquad\begin{cases}x=0\\y_\max=0\end{cases}\quad\vee\quad\begin{cases}x=2\\y_\min=f(2)=4\end{cases}\)
• szkic wykresu i odbicie symetrycznie względem osi rzędnych - pod linkiem w poprzednim poście

Pozdrawiam