Wileomian podzielny przez inny wielomian

[mosdef21]

Udowodnić, że wielomian \(x^{3n+2}+x^{3k+1}+x^{3m}\) jest podzielny przez wielomian \(x^2+x+1\) dla dowolnych liczb naturalnych \(k,m,n\).

[Jerry]

Najprościej - w ciele liczb zespolonych:
Niech \(v(z)=z^2+z+1,\ w(z)=z^{3n+2}+z^{3k+1}+z^{3m}\). Wtedy:
\[v(z)=0\iff z_{1,2}=\frac{-1\mp i\sqrt3}{2}\]
Dla ułatwienia dalszych rachunków, dla \(p=1,2\), mamy:
\[z_{p}^3=\left(\frac{-1\mp i\sqrt3}{2}\right)^3=\frac{-1\mp3i\sqrt3+9\pm3i\sqrt3}{8}=1\qquad (*)\]
Policzmy:
\[w(z_{p})=z_{p}^{3n+2}+z_{p}^{3k+1}+z_{p}^{3m}=z_{p}^2\cdot(z_{p}^3)^n+z_{p}\cdot (z_{p}^3)^k+(z_{p}^3)^m\nad{(*)}{=}z_{p}^2\cdot1^n+z_{p}\cdot 1^k+1^m=\\=
z_{p}^2+z_{p}+1=0\]
Z tw. Bezoute'a wynika:
\[\left[(z-z_1)|w(z)\wedge (z-z_2)|w(z)\right]\So (z-z_1)(z-z_2)|w(z)\\ v(z)|w(x)\\ \text{CKD}\]
Pozdrawiam

[Icanseepeace]

Dla dowolnego dodatniego \(k\) mamy:
\( x^{3k} = (x^3)^k - 1 + 1 = (x^3 - 1)(...) + 1 = (x^2 + x + 1)(x-1)(...) + 1 \)
Stąd wniosek, że dla dowolnego \( k \in N_{+} \) mamy
\( x^{3k} \equiv 1 \ mod \ (x^2 + x + 1) \)
Dlatego
\( x^{3n + 2} + x^{3k+1} + x^{3m} \equiv x^2 + x + 1 \equiv 0 \ mod \ (x^2 + x + 1) \)

[mosdef21]

Dlatego
\( x^{3n + 2} + x^{3k+1} + x^{3m} \equiv x^2 + x + 1 \equiv 0 \ mod \ (x^2 + x + 1) \)

Nie za bardzo wiem dlaczego?

[janusz55]

https://math.stackexchange.com/question ... le-by-x2x1