Metodą krzywych charakterystycznych wyznaczyć rozwiązanie \(u = u(x,y)\) równania:
\(u_x + u_y = yu\)
które spełnia warunek u(x,0) = x^2.
I jakby ktoś mógł wyjaśnić na czym polega ta metoda, albo podać link do jakiegoś dobrego wyjaśnienia to byłabym bardzo wdzięczna.
Metoda krzywych charakterystycznych
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
janusz55
- Fachowiec
- Posty: 1654
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 3 razy
- Otrzymane podziękowania: 429 razy
Re: Metoda krzywych charakterystycznych
\( u_{x} +u_{y} = y u \)
\( u(x,0) = x^2.\)
Układ równań zwyczajnych odpowiadających równaniu cząstkowemu:
\( \frac{dx}{1} = \frac{dy}{1} = \frac{du}{yu} \)
Pierwsze równanie charakterystyk:
\( \frac{dx}{1} = \frac{dy}{1} \)
\( dx = dy, \ \ \int dx = \int dy, \ \ x = y +c_{1}.\)
\( c_{1} = x-y. \)
Drugie równanie charakterystyk
\( \frac{dy}{1} = \frac{du}{yu} \)
Rozdzielamy zmienne i całkujemy obustronnie:
\( \int ydy = \int \frac{du}{u},\)
\( \frac{1}{2}y^2 = \ln(u) + c_{2} \)
\( c_{2} = \frac{1}{2}y^2 -\ln u \)
Wyznaczamy rozwiązanie ogólne \( c_{2} = f(c_{1}): \)
\( \frac{1}{2} y^2 - \ln(u) = f( x-y) \)
Stąd
\( \ln(u) = \frac{1}{2}y^2 - f(x-y) \)
\( u(x,y) = e^{\frac{1}{2}y^2 -f(x-y)} \)
Uwzględniamy warunek początkowy:
\( u(x,0) = x^2 = e^{0 - f(x)},\)
\( f(x) = -\ln(x^2). \)
Rozwiązanie szczególne równania:
\( u(x,y) = e^{\frac{1}{2}y^2 + \ln(x^2)}.\)
\( u(x,0) = x^2.\)
Układ równań zwyczajnych odpowiadających równaniu cząstkowemu:
\( \frac{dx}{1} = \frac{dy}{1} = \frac{du}{yu} \)
Pierwsze równanie charakterystyk:
\( \frac{dx}{1} = \frac{dy}{1} \)
\( dx = dy, \ \ \int dx = \int dy, \ \ x = y +c_{1}.\)
\( c_{1} = x-y. \)
Drugie równanie charakterystyk
\( \frac{dy}{1} = \frac{du}{yu} \)
Rozdzielamy zmienne i całkujemy obustronnie:
\( \int ydy = \int \frac{du}{u},\)
\( \frac{1}{2}y^2 = \ln(u) + c_{2} \)
\( c_{2} = \frac{1}{2}y^2 -\ln u \)
Wyznaczamy rozwiązanie ogólne \( c_{2} = f(c_{1}): \)
\( \frac{1}{2} y^2 - \ln(u) = f( x-y) \)
Stąd
\( \ln(u) = \frac{1}{2}y^2 - f(x-y) \)
\( u(x,y) = e^{\frac{1}{2}y^2 -f(x-y)} \)
Uwzględniamy warunek początkowy:
\( u(x,0) = x^2 = e^{0 - f(x)},\)
\( f(x) = -\ln(x^2). \)
Rozwiązanie szczególne równania:
\( u(x,y) = e^{\frac{1}{2}y^2 + \ln(x^2)}.\)