Układ równań z funkcją trygonometryczną.

[mosdef21]

Wyznaczyć \(\sin( \alpha )\) z układu równań:
\(\begin{cases} ( \sin( \alpha )-1)x+y=1\
\\ (-2\sin( \alpha ))x+(2 \sin ( \alpha) +1)y= \sin ( \alpha ) \end{cases}\)
wiedząc, że spełnia je para liczb \((x,y)\) taka, że \(x+y= \frac{5+3\sqrt{3}}{4} \tg \alpha \ctg \alpha \).

[Jerry]

Wykorzystując np. wyznaczniki i wzory Cramera:

1. \(\sin\alpha={1\over2}\So (x,y)\in\emptyset\)
2. \(\sin\alpha=-1\So \begin{cases}x\in\rr\\ y=2x+1\end{cases}\), ale nie istnieje \(\sin\alpha\) spełniający warunki zadania, bo nie istnieje \(\ctg\alpha\)
3. \((\sin\alpha\ne-1\wedge\sin\alpha\ne{1\over2})\So\begin{cases}x={1\over2\sin\alpha-1}\\y={\sin\alpha\over2\sin\alpha-1}\end{cases}\).
   Aby
   \(x+y= \frac{5+3\sqrt{3}}{4} \tg \alpha \ctg \alpha\wedge |\sin\alpha|\ne0\wedge \sin\alpha\ne0\)
   musi
   \({1\over2\sin\alpha-1}+{\sin\alpha\over2\sin\alpha-1}=\frac{5+3\sqrt{3}}{4} \cdot1\iff \sin\alpha=\frac{9+3\sqrt3}{6+6\sqrt3}=\ldots\)

Pozdrawiam

[mosdef21]

\(
...\So\begin{cases}x={1\over2\sin\alpha-1}\\y={\sin\alpha\over2\sin\alpha-1}\end{cases}.\)

A to jakim sposobem jest obliczone?

[janusz55]

\(...\sin(α)=\frac{9+\sqrt{3}}{6+2\sqrt{3}}\)

OCTAVE

Kod: Zaznacz cały

>> (9+sqrt(3))/(6+2*sqrt(3))
ans = 1.1340>1

[eresh]

A to jakim sposobem jest obliczone?

\(y=1-x(\sin \alpha-1)\\
-2\sin \alpha x+(2\sin\alpha+1)(1-x(\sin \alpha -1)=\sin\alpha\\
-2\sin\alpha x+2\sin\alpha-2\sin\alpha x(\sin\alpha-1)+1-x(\sin\alpha-1))=\sin\alpha\\
x(-2\sin\alpha-2\sin\alpha(\sin\alpha-1)-\sin\alpha+1)=-1-\sin\alpha\\
x(-2\sin\alpha-2\sin^2\alpha+2\sin\alpha-\sin\alpha+1)=-(1+\sin\alpha)\\
x(-2\sin^2\alpha-\sin\alpha+1)=-(1+\sin\alpha)\\
x=\frac{1+\sin\alpha}{2\sin^2\alpha+\sin\alpha-1}\\
x=\frac{1+\sin\alpha}{2(\sin\alpha-\frac{1}{2})(\sin\alpha+1)}\\
x=\frac{1}{2\sin\alpha-1}\\
y=1-\frac{\sin\alpha-1}{2\sin\alpha -1}\\
y=\frac{2\sin\alpha-1-\sin\alpha+1}{2\sin\alpha-1}\\
y=\frac{\sin\alpha}{2\sin\alpha-1}
\)

[eresh]

Wyznaczyć \(\sin( \alpha )\) z układu równań:
\(\begin{cases} ( \sin( \alpha )-1)x+y=1\
\\ (-2\sin( \alpha ))x+(2 \sin ( \alpha) +1)y= \sin ( \alpha ) \end{cases}\)
wiedząc, że spełnia je para liczb \((x,y)\) taka, że \(x+y= \frac{5+3\sqrt{3}}{4} \tg \alpha \ctg \alpha \).

\(x+y=\frac{5+3\sqrt{3}}{4}\tg\alpha\ctg\alpha\\
\frac{1+\sin\alpha}{2\sin\alpha-1}=\frac{5+3\sqrt{3}}{4}\\
4+4\sin\alpha=10\sin\alpha+6\sqrt{3}\sin\alpha-5-3\sqrt{3}\\
6\sin\alpha+6\sqrt{3}\sin\alpha=9+3\sqrt{3}\\
\sin\alpha(6+6\sqrt{3})=9+3\sqrt{3}\\
\sin\alpha=\frac{3(3+\sqrt{3})}{6(1+\sqrt{3})}\\
\sin\alpha=\frac{(3+\sqrt{3})(1-\sqrt{3})}{2(1-3)}\\
\sin\alpha=\frac{3-3\sqrt{3}+\sqrt{3}-3}{-4}\\
\sin\alpha=\frac{\sqrt{3}}{2}
\)

[janusz55]

\( 2\sin^2(\alpha)+\sin(\alpha)-1 = 2\left(\sin^2(\alpha)+\frac{1}{2}\sin(\alpha) -\frac{1}{2}\right) = 2\left(\sin^2(\alpha)+2\cdot \frac{1}{4}\sin(\alpha)+\left(\frac{1}{4}\right)^2- \left(\frac{1}{4}\right)^2 -\frac{1}{2}\right)=\)

\( = 2\left[\left(\sin(\alpha) +\frac{1}{4}\right)^2 -\frac{1}{16} -\frac{8}{16} \right] = 2\left[ \left(\sin(\alpha)+\frac{1}{4}\right)^2 -\frac{9}{16}\right]= 2\left[\left(\sin(\alpha)+\frac{1}{4}\right)^2 -\left(\frac{3}{4}\right)^2\right]= \)

\( = 2\left(\sin(\alpha) +\frac{1}{4} -\frac{3}{4}\right)\left(\sin(\alpha) +\frac{1}{4} +\frac{3}{4}\right)= 2\left(\sin(\alpha) -\frac{2}{4}\right)\left(\sin(\alpha) + \frac{4}{4}\right) = 2\left(\sin(\alpha) -\frac{1}{2}\right)\left(\sin(\alpha)+ 1\right).\)

[mosdef21]

A dlaczego zniknęło to wyrażenie \(\tg \alpha \ctg \alpha \)?

[eresh]

A dlaczego zniknęło to wyrażenie \(\tg \alpha \ctg \alpha \)?

nie zniknęło
\(\tg\alpha\cdot \ctg\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\cdot\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}=1\)

[mosdef21]

\( 2\sin^2(\alpha)+\sin(\alpha)-1 = 2\left(\sin^2(\alpha)+\frac{1}{2}\sin(\alpha) -\frac{1}{2}\right) = 2\left(\sin^2(\alpha)+2\cdot \frac{1}{4}\sin(\alpha)+\left(\frac{1}{4}\right)^2- \left(\frac{1}{4}\right)^2 -\frac{1}{2}\right)=\)
\( = 2\left[\left(\sin(\alpha) +\frac{1}{4}\right)^2 -\frac{1}{16} -\frac{8}{16} \right] = 2\left[ \left(\sin(\alpha)+\frac{1}{4}\right)^2 -\frac{9}{16}\right]= 2\left[\left(\sin(\alpha)+\frac{1}{4}\right)^2 -\left(\frac{3}{4}\right)^2\right]= \)
\( = 2\left(\sin(\alpha) +\frac{1}{4} -\frac{3}{4}\right)\left(\sin(\alpha) +\frac{1}{4} +\frac{3}{4}\right)= 2\left(\sin(\alpha) -\frac{2}{4}\right)\left(\sin(\alpha) + \frac{4}{4}\right) = 2\left(\sin(\alpha) -\frac{1}{2}\right)\left(\sin(\alpha)+ 1\right).\)

A to czego dotyczy?

[janusz55]

Uproszczenia rachunków Pani eresh.

[Natasha789]

Ten układ równań wprowadza nowy zwrot dzięki uwzględnieniu funkcji trygonometrycznych. Równania te prawdopodobnie obejmują kąty i ich stosunki trygonometryczne, co dodaje kolejną warstwę złożoności i bogactwa matematycznego do procesu rozwiązywania problemów.



Post zawierał odnośniki do nielegalnego oprogramowania.

[kerajs]

Ten układ równań wprowadza nowy zwrot dzięki uwzględnieniu funkcji trygonometrycznych. Równania te prawdopodobnie obejmują kąty i ich stosunki trygonometryczne, co dodaje kolejną warstwę złożoności i bogactwa matematycznego do procesu rozwiązywania problemów.

Kazualne aspekty tego zagadnienia w swej strukturze obiektywnej są zbyt skomplikowane.