Ciąg (\(a_n)_{n \in \mathbb{N}}\) opisany jest rekurencyjnie:
\( \begin{cases}a_1=1\\ a_{n+1}=a_n(n+1)\end{cases} \)
Znajdź wzór ogólny ciągu (\(a_n)_{n \in \mathbb{N}}\).
Ciąg określony rekurencyjnie
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
- Rozkręcam się
- Posty: 35
- Rejestracja: 07 lut 2020, 13:17
- Podziękowania: 7 razy
- Otrzymane podziękowania: 2 razy
- Płeć:
Re: Ciąg określony rekurencyjnie
\[
a_{1}=1\\
a_{2}=2\\
a_{3}=6\\
a_{4}=24\\
a_{5}=120\\
\to a_{n}=n!\\
Zależność:\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=n+1\\
Sprawdzenie: L=\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{(n+1)!}{n!}=\frac{n!(n+1)}{n!}=n+1=P\\
\to a_{n}=n!\\
\square
\]
-
- Fachowiec
- Posty: 1680
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 3 razy
- Otrzymane podziękowania: 437 razy
Re: Ciąg określony rekurencyjnie
Co to znaczy bardziej elementarnie?
Są trzy metody rozwiązania zadania.
1.
Można przeprowadzić dowód metodą indukcji zupełnej tego równania rekurencyjnego.
2.
Można znaleźć wzór dla \( n - \) elementowych permutacji za pomocą funkcji tworzących.
3.
Można rozwiązać ten problem z warunkami początkowymi jako równanie rekurencyjne (różnicowe).
Są trzy metody rozwiązania zadania.
1.
Można przeprowadzić dowód metodą indukcji zupełnej tego równania rekurencyjnego.
2.
Można znaleźć wzór dla \( n - \) elementowych permutacji za pomocą funkcji tworzących.
3.
Można rozwiązać ten problem z warunkami początkowymi jako równanie rekurencyjne (różnicowe).
-
- Fachowiec
- Posty: 2965
- Rejestracja: 14 lis 2016, 14:38
- Podziękowania: 33 razy
- Otrzymane podziękowania: 1303 razy
- Płeć:
Re: Ciąg określony rekurencyjnie
Och metod jest więcej i to znacznie prostszych.
Najpopularniejszą i najprostszą jest wrzucenie zadania na kilka forów matematycznych i grup facebookowych, a rozwiązanie (a nawet kilka różnych rozwiązań) prędzej czy później się pojawi.
Ambitniejsi wyliczają kilka początkowych wyrazów i wpisują je w OEIS. Np: https://oeis.org/search?q=1%2C2%2C6%2C2 ... &go=Search
Brak ciągu w OEIS i odpowiedzi na forach oznacza nierozwiązywalność zadania (QED).