Udowodnić, że jeśli suma n liczb dodatnich...

[mosdef21]

Udowodnić, że jeśli suma \(n\) liczb dodatnich jest równa \(n\), to ich iloczyn jest mniejszy lub równy \(1\).

[Jerry]

Dla dodatnich \(a_1,a_2,\ldots,a_n\) zachodzi
\[\frac{a_1+a_2+\ldots+a_n}{n}\ge\sqrt[n]{a_1\cdot a_2\cdot\ldots\cdot a_n}\]
i równość dla \(a_1=a_2=\ldots=a_n\).

Pozostaje wykorzystać założenie: \(a_1+a_2+\ldots+a_n=n\)

Pozdrawiam

[Jerry]

... możesz jeszcze dalej dokończyć z tym wykorzystaniem tego założenia? Bo nie wiem co jeszcze trzeba zrobić aby to udowodnić

\[\begin{cases}\frac{a_1+a_2+\ldots+a_n}{n}\ge\sqrt[n]{a_1\cdot a_2\cdot\ldots\cdot a_n}\\a_1+a_2+\ldots+a_n=n\end{cases}\So \frac{n}{n}\ge\sqrt[n]{a_1\cdot a_2\cdot\ldots\cdot a_n}\\
\sqrt[n]{a_1\cdot a_2\cdot\ldots\cdot a_n}\le1\qquad|^n\\
a_1\cdot a_2\cdot\ldots\cdot a_n\le1\\ CKD\]
Pozdrawiam

[mosdef21]

A jak to dowieść metodą indukcji?

[Jerry]

A jak to dowieść metodą indukcji?

Tę konkretną nierówność, czy nierówność Cauchy'ego o średnich?

• Po co utrudniać sobie życie, jeśli jest doskonałe, proste narzędzie!
• Jeden z przyjaźniejszych dowodów nierówności Cauchy'ego znajdziesz TU - możesz go implementować do danego problemu

Pozdrawiam