Zbiór wartości funkcji wymiernej

[Raiken123]

Znajdź zbiór wartości funkcji \(h(x)=\frac{1}{4-x}+3x-9\) dla \(0<x<4\)
Czy ktoś mógłby wyjaśnić jak wyznaczyć Zw. bez wykresu tylko na wzorze?

[janusz55]

\( h(0) = \frac{1}{4-0} + 3\cdot 0 -9 = -8\frac{3}{4}.\)

\( \lim_{x\to 4^{-}} h(x) = \lim_{x\to 4^{-}}\left( \frac{1}{4-x}+ 3x -9\right) = +\infty +3 = +\infty.\)

\( h(x) \in \left( -8\frac{3}{4}, +\infty \right). \)

[Jerry]

Wg mnie istotnym byłoby zauważenie, że \(h\nearrow(0;4)\), bo
\[h'(x)=\left(\frac{1}{4-x}+3x-9\right)'=\frac{1}{(4-x)^2}+3>0 \text{ dla } x\in D'=\rr\setminus\{4\}\]
czyli w szczególności dla \(x\in(0;4)\). I teraz pora na rachunki janusz55.

Pozdrawiam

[janusz55]

Nie trzeba tu pochodnej, wystarczy zauważyć, że funkcja jest ściśle rosnąca w przedziale \( (0, 4) \) licząc jej wartość w zerze i lewostronną asymptotę pionową.

Suma dwóch funkcji ściśle rosnących i ciągłych wprzedziale \( (0, 4) \) jest funkcją ściśle rosnącą.

[Jerry]

...wystarczy zauważyć, że funkcja jest ściśle rosnąca w przedziale \( (0, 4) \) licząc jej wartość w zerze i lewostronną asymptotę pionową.

Suma dwóch funkcji ściśle rosnących i ciągłych wprzedziale \( (0, 4) \) jest funkcją ściśle rosnącą.

Z tym się zgadzam... ale tego zabrakło w poście z 15:21!

Pozdrawiam

[janusz55]

To widać z postaci wzoru funkcji \( h \) i nie konieczne jest to stwierdzenie, aby określić zbiór jej wartości.