trzy ciągi
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
- Jerry
- Expert
- Posty: 3534
- Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
- Podziękowania: 51 razy
- Otrzymane podziękowania: 1940 razy
Re: trzy ciągi
Dla wklęsłej funkcji \(y=f(x)=\ln x\), z nierówności Jensena oraz porządku pomiędzy średnimi arytmetyczną i geometryczną mamy:
\[\ln n\ge \frac{\ln (n-1)+\ln(n+1)}{2}\ge\sqrt{\ln (n-1)\cdot\ln(n+1)}\]
skąd odpowiedź.
Pozdrawiam
PS. Pozostałe ciągi nie spełniają danego warunku już dla \(n=2\)
\[\ln n\ge \frac{\ln (n-1)+\ln(n+1)}{2}\ge\sqrt{\ln (n-1)\cdot\ln(n+1)}\]
skąd odpowiedź.
Pozdrawiam
PS. Pozostałe ciągi nie spełniają danego warunku już dla \(n=2\)
-
- Czasem tu bywam
- Posty: 94
- Rejestracja: 09 mar 2023, 14:07
- Podziękowania: 55 razy
- Otrzymane podziękowania: 1 raz
Re: trzy ciągi
A jak mam rozumieć tą własność jak to połączyć z wyrazami ciągu. I może Pan pokazać dlaczego te pozostałe ciągi nie spełniają tego warunku. Czy to można podciągnąć pod zależność miedzy trzema kolejnymi wyrazami ciągu?
- eresh
- Guru
- Posty: 16825
- Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
- Podziękowania: 6 razy
- Otrzymane podziękowania: 10382 razy
- Płeć:
Re: trzy ciągi
Nierówność Jensena dla funkcji wklęsłej (\(f(x)=\ln x\) jest wklęła)
\(f(\alpha_1x_1+\alpha_2x_2)\geq \alpha_1f(x_1)+\alpha_2f(x_2)\\
\ln n=\ln (\frac{1}{2}n+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}n-\frac{1}{2})=\ln (\frac{1}{2}(n+1)+\frac{1}{2}(n-1))\)
stosujemy nierówność Jensena:
\(\ln n\geq \frac{1}{2}\ln (n+1)+\frac{1}{2}\ln (n-1)\\
\ln n\geq\frac{\ln (n+1)+\ln (n-1)}{2}\)
korzystamy z zależności między średnią arytmetyczną i geometryczną:
\(\ln n\geq\frac{\ln (n+1)+\ln (n-1)}{2}\geq\sqrt[2]{\ln (n+1)\ln(n-1)}\\
\ln^2 n\geq\ln (n+1)\ln(n-1)\\
a_{n}^2\geq a_{n+1}\cdot a_{n-1} \)
Ostatnio zmieniony 01 lip 2023, 21:05 przez eresh, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: po uwadze Jerry'ego
Powód: po uwadze Jerry'ego
Podziękuj osobie, która rozwiązała Ci zadanie klikając na ikonkę
- Jerry
- Expert
- Posty: 3534
- Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
- Podziękowania: 51 razy
- Otrzymane podziękowania: 1940 razy
- eresh
- Guru
- Posty: 16825
- Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
- Podziękowania: 6 razy
- Otrzymane podziękowania: 10382 razy
- Płeć:
Re: trzy ciągi
Zgadza się, zjadłam logarytm. Zaraz skoryguję
Podziękuj osobie, która rozwiązała Ci zadanie klikając na ikonkę
- Jerry
- Expert
- Posty: 3534
- Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
- Podziękowania: 51 razy
- Otrzymane podziękowania: 1940 razy
Re: trzy ciągi
eresh już to zrobiła...
Własność oczekuje prawdziwości porządku dla każdego \(n>1\), czyli w szczególności dla \(n=2\). Jeśli ta nie zajdzie, to... nie dla każdego!
Pozostawiam Ci do sprawdzenia prawdziwość nierówności:
- \(a_2^2=(\sqrt[2]{2!})^2\ge\sqrt[1]{1!}\cdot\sqrt[3]{3!}=a_{2-1}\cdot a_{2+1}\)
- \(a_2^2=\left(2^2\right)^2\ge 1^1\cdot3^3=a_{2-1}\cdot a_{2+1}\)
-
- Fachowiec
- Posty: 1588
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 2 razy
- Otrzymane podziękowania: 418 razy
Re: trzy ciągi
Wystarczy też podstawić:
\( \ln^2(n) \geq \ln(n-1)\cdot \ln(n+1)\)
\( \ln^2(n) < n^2, \ \ \ln(n-1) < (n-1), \ \ \ln(n+1)< (n+1), \ \ n>2.\)
Stąd
\( n^2 \geq (n-1)(n+1) = n^2-1.\) - prawda.
W programach szkolnych nie ma nierówności Jensena.
\( \ln^2(n) \geq \ln(n-1)\cdot \ln(n+1)\)
\( \ln^2(n) < n^2, \ \ \ln(n-1) < (n-1), \ \ \ln(n+1)< (n+1), \ \ n>2.\)
Stąd
\( n^2 \geq (n-1)(n+1) = n^2-1.\) - prawda.
W programach szkolnych nie ma nierówności Jensena.
- Jerry
- Expert
- Posty: 3534
- Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
- Podziękowania: 51 razy
- Otrzymane podziękowania: 1940 razy
Re: trzy ciągi
Pomijam brak związku z treścią dyskutowanego zadania...
Ale rozumny, po narysowaniu wykresu funkcji wklęsłej określonej w \([x_1;x_2]\), zauważy, że zachodzi
\[f\left({x_1+x_2\over2}\right)\ge\frac{ f\left({x_1}\right)+f\left(x_2\right)}{2}\]
Pozdrawiam
-
- Stały bywalec
- Posty: 437
- Rejestracja: 03 kwie 2021, 21:36
- Podziękowania: 6 razy
- Otrzymane podziękowania: 253 razy
- Płeć:
Re: trzy ciągi
\( \ln(n^2) = 2\ln(n) < 2n \)
jak się zachowuje nierówność przy takim oszacowaniu lewej strony?
Oszacowałeś strasznie słabo tylko po to aby wynik się zgadzał.
Natomiast sama jakoś takiego sprawdzenia jest mówiąc krótko marna.
Inny przykład na samych liczbach:
\( 6 > 3 \cdot 1 \), no ale:
\( 7 > 6 \) oraz \( 4 > 3 \) oraz \( 2 > 1 \), więc
\( 7 > 4 \cdot 2 = 8 \)