Układ równań różniczkowych

[janusz55]

Zadanie

Proszę znaleźć rozwiązanie ogólne układu równań:

\( \begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & -2 \\ 4 & -1 \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} t \\ e^{t} \end{bmatrix} \ \ (1) \)

Jest to niejednorodny układ równań różniczkowych zwyczajnych o stałych współzynnikach.

Rozwiązanie

Niech \( A = \begin{bmatrix} 5 & -2 \\ 4 & -1 \end{bmatrix}.\)

Rozwiązaniem ogólnym równania jednorodnego

\( \frac{d}{dt} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = A \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} \)

jest trajektoria \( \begin{bmatrix} x(t) \\ y(t) \end{bmatrix} = e^{tA}\begin{bmatrix} x_{0} \\ y_{0} \end{bmatrix}. \)

Diagonalizujemy macierz \( A.\)

Mamy \( \det(A - \lambda I) = \det\begin{bmatrix}5-\lambda & -2 \\ 4 & -1-\lambda \end{bmatrix} = (\lambda -5) (\lambda+1) +8 = \lambda^2 -4\lambda +3 = (\lambda -1)(\lambda -3). \)

Macierz \( A \) ma dwie wartości własne \( \lambda_{1}=1, \ \ \lambda_{2} = 3. \)

Znajdujemy wektory własne macierzy \( A \)

\( \lambda_{1} = 3:\)

\( \ker( A - 3I) = \ker\begin{bmatrix} 2 & -2 \\ 4 & -4 \end{bmatrix} = span\left\{ \begin{bmatrix} 1 \\ 1\end{bmatrix} \right\} \)

\( \lambda =1:\)

\( \ker( A - 1I) = \ker\begin{bmatrix} 4 & -2 \\ 4 & -2 \end{bmatrix} = span\left\{\begin{bmatrix} 1 \\ 2\end{bmatrix} \right\} \)

Stąd

\( \left\{\begin{bmatrix} 1 \\ 1\end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 2\end{bmatrix} \right\} \) jest bazą diagonalizującą.

Mamy \( A^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2\end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}.\)

Czyli

\( A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}.\)

Stąd

\( e^{tA} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} e^{3t} & 0 \\ 0 & e^{t} \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}.\)

Otrzymaliśmy R.O.R.J.

\( \begin{bmatrix} x(t) \\ y(t) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2e^{3t} -e^{t} & -e^{3t} +e^{t} \\ 2e^{3t}-2e^{t} & -e^{3t}+2e^{t} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_{0} \\ y_{0} \end{bmatrix}.\)

\( \begin{bmatrix} x(t) \\ y(t) \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} (2e^{t}- e^{t})\cdot x_{0} + (e^{3t} +e^{t})\cdot y_{0}\\ (2e^{3t}-2e^{t})\cdot x_{0} + (-e^{3t}+2e^{t})\cdot y_{0} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} e^{3t}(2x_{0}+y_{0}) - e^{t}( x_{0} -y_{0})\\ e^{3t}(2x_{0}- y_{0}) -2e^{t}(x_{0}-y_{0})\end{bmatrix}\)

Przyjmujemy oznaczenia:

\( \begin{cases} 2x_{0} - y_{0} = a \\ x_{0} - \ \ y_{0} = b \end{cases} \)

\( \begin{bmatrix} x(t) \\ y(t) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} e^{3t} & - e^{t} \\ e^{3t} & -2e^{t} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix}.\)

Teraz stosujemy metodę uzmiennienia stałych, przyjmując:

\( \begin{bmatrix} x(t) \\ y(t) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} e^{3t} - e^{t} & & -e^{3t}\\ e^{3t} &-2e^{t} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a (t) \\ b(t) \end{bmatrix}. \)

\( \begin{bmatrix} a(t) \\ b(t) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2e^{-3t} & -e^{-3t} \\ e*{-t} & -e^{-t} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x(t) \\ y(t) \end{bmatrix}. \)

\( \begin{bmatrix} a'(t) \\ b'(t) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -6e^{-3t} & 3e^{-3t} \\ -e^{-t} & e^{-t} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} dx \\ dy \end{bmatrix}. \)

Podstawiamy do \( (1) \)

\( \begin{bmatrix} a'(t) \\ b'(t) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -6e^{-3t} & 3e^{-3t} \\ -e^{-t} & e^{-t} \end{bmatrix}\left\{ \begin{bmatrix} 5 & -2 \\ 4 & -1 \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} dx \\ dy \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} t \\ e^{t} \end{bmatrix}\right\}, \)

\( \begin{bmatrix} a'(t) \\ b'(t) \end{bmatrix} \begin{bmatrix}-30e^{-3t}+12e^{-3t} & 12e^{-3t} -3e^{-3t} \\ -5e^{-t} + 4e^{-t} & 2e^{-t}-e^{-t} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} dx \\ dy \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -6te^{-3t}+3e^{2t} \\ -te^{-t} +1 \end{bmatrix},\)

\( \begin{bmatrix} a'(t) \\ b'(t) \end{bmatrix} \begin{bmatrix}-8e^{-3t} & 9e^{-3t} \\ -e^{-t} & e^{-t} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} dx \\ dy \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -6te^{-3t}+3e^{2t} \\ -te^{-t} +1 \end{bmatrix},\)

\( \begin{bmatrix} a(t) \\ b(t) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{8}{3}e^{-3t} & -3e^{-3t} \\ e^{-t} & -e^{-t}\end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 2te^{-3t} +\frac{2}{3}e^{-3t} +3e^{-2t} \\ te^{-t} +e^{-t} + t \end{bmatrix}. \)

R.O.R.N = R.O.R.J + R.S.R.N.:

\( \begin{bmatrix} x(t) \\ y(t) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} e^{3t} & -e^{t} \\ e^{3t} & -2e^{t} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} e^{3t} & -e^{-t} \\ e^{3t} & -2e^{-t} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2t e^{-3t} +\frac{1}{3}e^{-3t} \\ te^{-t} +e^{-t} +t \end{bmatrix}.\)

\( \begin{bmatrix} x(t) \\ y(t) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} e^{3t} & -e^{t} \\ e^{3t} & -2e^{t} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -\frac{2}{3} +t +3e^{t} -te^{t} \\ -\frac{5}{3} +3e^{t} -2t e^{-t} \end{bmatrix} .\)