Wykazać tożsamość

[mosdef21]

1) \( \frac{\ctg x-\tg x}{\sin x +\cos x}= \frac{1}{\sin x}- \frac{1}{\cos x} \)
2) \( \frac{\tg x - \ctg x}{\tg x+\ctg x} = \frac{\tg^2 x-1}{\tg^2 x+1} \)
3)\( \frac{1-\sin x}{1+\sin x} - \frac{1+\sin x}{1-\sin x}= \frac{-4\sin x}{\cos^2x} \)
4) \((\sin x- \cos x)^2+(\sin x +\cos x)^2=2\)

[janusz55]

1)
Założenia. Wykorzystanie tożsamości:\( \ctg(x) = \frac{\cos(x)}{\sin(x)}. \ \ \tg(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}\)

2)
Jak w 1)

3)
Założenia. Wykonanie odejmowania po lewej stronie tozsamości.

4)
Wzory skróconego mnożenia na kwadrat różnicy i kwadrat sumy dwumianu i wykorzystanie jedynki trygonometrycznej.

[eresh]

1) \( \frac{\ctg x-\tg x}{\sin x +\cos x}= \frac{1}{\sin x}- \frac{1}{\cos x} \)

\( \frac{\ctg x-\tg x}{\sin x +\cos x}= \frac{\frac{\cos x}{\sin x}-\frac{\sin x}{\cos x}}{\sin x+\cos x}=\frac{\cos^2x-\sin^2x}{(\cos x+\sin x)\sin x\cos x}=\frac{(\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x)}{(\cos x+\sin x)\sin x\cos x}=\frac{\cos x}{\sin x\cos x}-\frac{\sin x}{\sin x\cos x}=\frac{1}{\sin x}-\frac{1}{\cos x}\)

[eresh]

2) \( \frac{\tg x - \ctg x}{\tg x+\ctg x} = \frac{\tg^2 x-1}{\tg^2 x+1} \)

\( \frac{\tg x - \ctg x}{\tg x+\ctg x} =\frac{\tg x-\frac{1}{\tg x}}{\tg x+\frac{1}{\tg x}}=\frac{\frac{\tg ^2x-1}{\tg x}}{\frac{\tg^2x+1}{\tg x}}= = \frac{\tg^2 x-1}{\tg^2 x+1}\)

[eresh]

3)\( \frac{1-\sin x}{1+\sin x} - \frac{1+\sin x}{1-\sin x}= \frac{-4\sin x}{\cos^2x} \)

\(\frac{1-\sin x}{1+\sin x} - \frac{1+\sin x}{1-\sin x}=\frac{(1-\sin x)^2-(1+\sin x)^2}{(1+\sin x)(1-\sin x)}=\frac{1-2\sin x+\sin^2x-1-2\sin x-\sin^2x}{1-\sin^2x}=\frac{-4\sin x}{\cos^2x}\)

[eresh]

4) \((\sin x- \cos x)^2+(\sin x +\cos x)^2=2\)

\((\sin x- \cos x)^2+(\sin x +\cos x)^2=\sin^2x-2\sin x\cos x+\cos^2x+\sin^2x+2\sin x\cos x+\cos^2x=1+1=2\)