Parametr m
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Parametr m
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których równanie \( x^2− (3m + 5)x + 2m − 7 = 0\)
posiada dwa różne pierwiastki takie, że jeden z pierwiastków jest mniejszy od \(−1\), a drugi większy od \(2\). Zapisz obliczenia.
posiada dwa różne pierwiastki takie, że jeden z pierwiastków jest mniejszy od \(−1\), a drugi większy od \(2\). Zapisz obliczenia.
Ostatnio zmieniony 25 mar 2023, 21:51 przez Jerry, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości: cała matematyka w kodzie i [tex] [/tex]
Powód: Poprawa wiadomości: cała matematyka w kodzie i [tex] [/tex]
- Jerry
- Expert
- Posty: 3715
- Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
- Podziękowania: 52 razy
- Otrzymane podziękowania: 2007 razy
Re: Parametr m
Wobec dodatniego współczynnika kierującego trzeba i wystarczy
\(\begin{cases}f(-1)<0\\ f(2)<0\end{cases}\)
dla
\(f(x)=x^2− (3m + 5)x + 2m − 7\)
Pozdrawiam
PS. Przestań cudować z formatowaniem fontów - wystarczy pisać w kodzie \(\LaTeX\)
\(\begin{cases}f(-1)<0\\ f(2)<0\end{cases}\)
dla
\(f(x)=x^2− (3m + 5)x + 2m − 7\)
Pozdrawiam
PS. Przestań cudować z formatowaniem fontów - wystarczy pisać w kodzie \(\LaTeX\)
- Jerry
- Expert
- Posty: 3715
- Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
- Podziękowania: 52 razy
- Otrzymane podziękowania: 2007 razy
Re: Parametr m
Zaproponowane przez Ciebie warunki zapewniają istnienie mniejszego z pierwiastków w przedziale \((-1;2)\), większego w \((2;+\infty)\)
Pozdrawiam
Re: Parametr m
Dzięki ,ale skopiowałem poprostu zadanie z pdf'a
Ostatnio zmieniony 26 mar 2023, 17:18 przez Jerry, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości: skróciłem cytat
Powód: Poprawa wiadomości: skróciłem cytat
- nijak
- Czasem tu bywam
- Posty: 121
- Rejestracja: 09 lis 2021, 10:17
- Lokalizacja: 53°7'24"N 23°5'11"E
- Podziękowania: 40 razy
- Otrzymane podziękowania: 31 razy
- Płeć:
Re: Parametr m
Narysuj parabolę i zauważ, że jeśli byłoby inaczej np. \(f(-1)>0\), to na chłopski rozum jeśli dla \((-1)\) mamy wartość większą od zera to miejsce zerowe jest większe od \((-1)\) co odrzuca nam warunek miejsca zerowego określonego w zadaniu. Wtedy pierwiastek występowałby w przedziale \((-1;2)\).
Napisz czy wiesz czym są wzory Viete’a to pokażę Ci alternatywny sposób rozwiązania.
Pozdrawiam
Napisz czy wiesz czym są wzory Viete’a to pokażę Ci alternatywny sposób rozwiązania.
Pozdrawiam
Jeśli doceniasz pracę autora tego rozwiązania, to podziękuj mu zostawiając .
\(e^{i\pi}+1=0\)
\(e^{i\pi}+1=0\)
- nijak
- Czasem tu bywam
- Posty: 121
- Rejestracja: 09 lis 2021, 10:17
- Lokalizacja: 53°7'24"N 23°5'11"E
- Podziękowania: 40 razy
- Otrzymane podziękowania: 31 razy
- Płeć:
Re: Parametr m
Wnioskuje, że nie narysowałeś paraboli i nie przeanalizowałeś dla przeciwnych założeń.
Trochę zapału Wkrótce sam do tego dojdziesz.
Pozdrawiam
[ciach]
Trochę zapału Wkrótce sam do tego dojdziesz.
Pozdrawiam
[ciach]
Ostatnio zmieniony 27 mar 2023, 21:56 przez Jerry, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości; usunąłem zbędny komentarz
Powód: Poprawa wiadomości; usunąłem zbędny komentarz
Jeśli doceniasz pracę autora tego rozwiązania, to podziękuj mu zostawiając .
\(e^{i\pi}+1=0\)
\(e^{i\pi}+1=0\)
Re: Parametr m
Po pierwsze zapał mam bo nie robie tego jako jakieś pracy domowej tylko dla własnego rozwoju ,a po drugie nie mogłem tego zrozumieć , ponieważ nigdy nie robiłem zadania z takimi założeniami . Zadanie po narysowaniu kilku wariantów położenia zrozumiałem,bo mnie nakierowałeś.
A z wzorów Vieta masz na myśli ?
\(
x<-1 \)
\(x>2\)
\((x+1)(x-2)<0 \)
A z wzorów Vieta masz na myśli ?
\(
x<-1 \)
\(x>2\)
\((x+1)(x-2)<0 \)
- nijak
- Czasem tu bywam
- Posty: 121
- Rejestracja: 09 lis 2021, 10:17
- Lokalizacja: 53°7'24"N 23°5'11"E
- Podziękowania: 40 razy
- Otrzymane podziękowania: 31 razy
- Płeć:
Re: Parametr m
No i widzisz bardzo dobrze.
Chodzi o to
\[ \begin{cases} \Delta >0 \\ (x_1-2)(x_2-2)<0 \\ (x_1+1)(x_2+1)<0 \end{cases}\]
Pozdrawiam
Ps. Pisz w kodzie
[edited] Po adnotacji Jerry
Chodzi o to
\[ \begin{cases} \Delta >0 \\ (x_1-2)(x_2-2)<0 \\ (x_1+1)(x_2+1)<0 \end{cases}\]
Pozdrawiam
Ps. Pisz w kodzie
[edited] Po adnotacji Jerry
Ostatnio zmieniony 26 mar 2023, 23:02 przez nijak, łącznie zmieniany 5 razy.
Jeśli doceniasz pracę autora tego rozwiązania, to podziękuj mu zostawiając .
\(e^{i\pi}+1=0\)
\(e^{i\pi}+1=0\)
- Jerry
- Expert
- Posty: 3715
- Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
- Podziękowania: 52 razy
- Otrzymane podziękowania: 2007 razy
Re: Parametr m
Nawet nieprawdziwy - sprawdź dla \(x_1=-2,\ x_2=5\)! A poza tym w drugim trudno będzie skorzystać z wzorów Viete'a...
Ad rem:
Dla \(\Delta(m)>0\), aby \(-1\) i \(2\) rozdzielały pierwiastki, powinno być:
\(\left(\begin{cases}x_1<-1\\ x_2>-1\end{cases}\wedge\begin{cases}x_1<2\\ x_2>2\end{cases}\right)\iff\begin{cases}(x_1+1)( x_2+1)<0\\(x_1-2)( x_2-2)<0\end{cases}\)
Pozdrawiam
PS. Jeśli, jak piszesz, chcesz się matematycznie rozwijać - ogarnij "parabole sprzyjające", które opisał nijak
[edited] uzupełnienie po poście janusz55
-
- Fachowiec
- Posty: 1920
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 4 razy
- Otrzymane podziękowania: 459 razy
Re: Parametr m
Jeśli mamy wyrazić różnicę rozwiązań równania kwadratowego \( x_{1} - x_{2} \) przez ich sumę \( x_{1}+x_{2}, \)
podnosimy różnicę do kwadratu:
\( (x_{1} - x_{2})^2 = x^2_{1} - 2x_{1}\cdot x_{2} + x^2_{2} \ \ (*). \)
Zostawiamy podwójny iloczyn ze znakiem minus.
Sumę kwadratów pierwiastków równania \( x^2_{1} + x^2_{2} \) uzupełniamy do kwadratu sumy:
\( x^2_{1} + x^2_{2} + 2x_{1}\cdot x_{2} - 2x_{1}\cdot x_{2} = (x_{1} +x_{2})^2 - 2x_{1}\cdot x_{2} \ \ (**)\)
Uwzględniając równanie \( (**) \) w \( (*) \), otrzymujemy
\( (x_{1}-x_{2})^2 = (x_{1} + x_{2})^2 - 2x_{1}\cdot x_{2} -2x_{1}\cdot x_{2} = (x_{1}+x_{2})^2 -4x_{1}\cdot x_{2}. \)
\( x_{1} - x_{2} = \pm \sqrt{(x_{1}+x_{2})^2 - 4x_{1}\cdot x_{2}}.\)
podnosimy różnicę do kwadratu:
\( (x_{1} - x_{2})^2 = x^2_{1} - 2x_{1}\cdot x_{2} + x^2_{2} \ \ (*). \)
Zostawiamy podwójny iloczyn ze znakiem minus.
Sumę kwadratów pierwiastków równania \( x^2_{1} + x^2_{2} \) uzupełniamy do kwadratu sumy:
\( x^2_{1} + x^2_{2} + 2x_{1}\cdot x_{2} - 2x_{1}\cdot x_{2} = (x_{1} +x_{2})^2 - 2x_{1}\cdot x_{2} \ \ (**)\)
Uwzględniając równanie \( (**) \) w \( (*) \), otrzymujemy
\( (x_{1}-x_{2})^2 = (x_{1} + x_{2})^2 - 2x_{1}\cdot x_{2} -2x_{1}\cdot x_{2} = (x_{1}+x_{2})^2 -4x_{1}\cdot x_{2}. \)
\( x_{1} - x_{2} = \pm \sqrt{(x_{1}+x_{2})^2 - 4x_{1}\cdot x_{2}}.\)
- Jerry
- Expert
- Posty: 3715
- Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
- Podziękowania: 52 razy
- Otrzymane podziękowania: 2007 razy
Re: Parametr m
Post janusz55 nic nie wnosi do rozstrzyganego problemu, zatem najlepiej wykorzystać wskazówki z moich postów
Pozdrawiam
PS. Dla \(\Delta\ge0\) mamy
\[|x_1-x_2|=\left|\frac{-b-\sqrt\Delta}{2a}-\frac{-b+\sqrt\Delta}{2a}\right|=\left|\frac{-2\sqrt\Delta}{2a}\right|=\frac{\sqrt\Delta}{|a|}\]