Parametr m

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Korni131
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 15
Rejestracja: 19 wrz 2022, 00:03
Podziękowania: 9 razy

Parametr m

Post autor: Korni131 »

Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których równanie \( x^2− (3m + 5)x + 2m − 7 = 0\)
posiada dwa różne pierwiastki takie, że jeden z pierwiastków jest mniejszy od \(−1\), a drugi większy od \(2\). Zapisz obliczenia.
Ostatnio zmieniony 25 mar 2023, 21:51 przez Jerry, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości: cała matematyka w kodzie i [tex] [/tex]
Awatar użytkownika
Jerry
Expert
Expert
Posty: 3715
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 52 razy
Otrzymane podziękowania: 2007 razy

Re: Parametr m

Post autor: Jerry »

Wobec dodatniego współczynnika kierującego trzeba i wystarczy
\(\begin{cases}f(-1)<0\\ f(2)<0\end{cases}\)
dla
\(f(x)=x^2− (3m + 5)x + 2m − 7\)

Pozdrawiam
PS. Przestań cudować z formatowaniem fontów - wystarczy pisać w kodzie \(\LaTeX\)
Luiza2
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 39
Rejestracja: 25 mar 2023, 17:30
Podziękowania: 12 razy
Płeć:

Re: Parametr m

Post autor: Luiza2 »

A nie tak?
\(\begin{cases}f(-1)>0\\ f(2)<0\end{cases}\)
Awatar użytkownika
Jerry
Expert
Expert
Posty: 3715
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 52 razy
Otrzymane podziękowania: 2007 razy

Re: Parametr m

Post autor: Jerry »

Luiza2 pisze: 25 mar 2023, 23:01 A nie tak?
\(\begin{cases}f(-1)>0\\ f(2)<0\end{cases}\)
Zaproponowane przez Ciebie warunki zapewniają istnienie mniejszego z pierwiastków w przedziale \((-1;2)\), większego w \((2;+\infty)\)

Pozdrawiam
Korni131
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 15
Rejestracja: 19 wrz 2022, 00:03
Podziękowania: 9 razy

Re: Parametr m

Post autor: Korni131 »

Jerry pisze: 25 mar 2023, 21:56 Przestań cudować z formatowaniem fontów - wystarczy pisać w kodzie \(\LaTeX\)
Dzięki ,ale skopiowałem poprostu zadanie z pdf'a
Ostatnio zmieniony 26 mar 2023, 17:18 przez Jerry, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości: skróciłem cytat
Korni131
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 15
Rejestracja: 19 wrz 2022, 00:03
Podziękowania: 9 razy

Re: Parametr m

Post autor: Korni131 »

Jerry pisze: 25 mar 2023, 21:56 Wobec dodatniego współczynnika kierującego trzeba i wystarczy
\(\begin{cases}f(-1)<0\\ f(2)<0\end{cases}\)
dla
\(f(x)=x^2− (3m + 5)x + 2m − 7\)
Czy mógłbyś wyjaśnić skąd to się bierze lub wskazać inny sposób?
Awatar użytkownika
nijak
Czasem tu bywam
Czasem tu bywam
Posty: 121
Rejestracja: 09 lis 2021, 10:17
Lokalizacja: 53°7'24"N 23°5'11"E
Podziękowania: 40 razy
Otrzymane podziękowania: 31 razy
Płeć:

Re: Parametr m

Post autor: nijak »

Narysuj parabolę i zauważ, że jeśli byłoby inaczej np. \(f(-1)>0\), to na chłopski rozum jeśli dla \((-1)\) mamy wartość większą od zera to miejsce zerowe jest większe od \((-1)\) co odrzuca nam warunek miejsca zerowego określonego w zadaniu. Wtedy pierwiastek występowałby w przedziale \((-1;2)\).

Napisz czy wiesz czym są wzory Viete’a to pokażę Ci alternatywny sposób rozwiązania.

Pozdrawiam
Jeśli doceniasz pracę autora tego rozwiązania, to podziękuj mu zostawiając 👍.

\(e^{i\pi}+1=0\)
Awatar użytkownika
nijak
Czasem tu bywam
Czasem tu bywam
Posty: 121
Rejestracja: 09 lis 2021, 10:17
Lokalizacja: 53°7'24"N 23°5'11"E
Podziękowania: 40 razy
Otrzymane podziękowania: 31 razy
Płeć:

Re: Parametr m

Post autor: nijak »

Wnioskuje, że nie narysowałeś paraboli i nie przeanalizowałeś dla przeciwnych założeń.
Trochę zapału :!: Wkrótce sam do tego dojdziesz.

Pozdrawiam
[ciach]
Ostatnio zmieniony 27 mar 2023, 21:56 przez Jerry, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości; usunąłem zbędny komentarz
Jeśli doceniasz pracę autora tego rozwiązania, to podziękuj mu zostawiając 👍.

\(e^{i\pi}+1=0\)
Korni131
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 15
Rejestracja: 19 wrz 2022, 00:03
Podziękowania: 9 razy

Re: Parametr m

Post autor: Korni131 »

Po pierwsze zapał mam bo nie robie tego jako jakieś pracy domowej tylko dla własnego rozwoju ,a po drugie nie mogłem tego zrozumieć , ponieważ nigdy nie robiłem zadania z takimi założeniami . Zadanie po narysowaniu kilku wariantów położenia zrozumiałem,bo mnie nakierowałeś.
A z wzorów Vieta masz na myśli ?
\(
x<-1 \)

\(x>2\)
\((x+1)(x-2)<0 \)
Awatar użytkownika
nijak
Czasem tu bywam
Czasem tu bywam
Posty: 121
Rejestracja: 09 lis 2021, 10:17
Lokalizacja: 53°7'24"N 23°5'11"E
Podziękowania: 40 razy
Otrzymane podziękowania: 31 razy
Płeć:

Re: Parametr m

Post autor: nijak »

No i widzisz bardzo dobrze.

Chodzi o to
\[ \begin{cases} \Delta >0 \\ (x_1-2)(x_2-2)<0 \\ (x_1+1)(x_2+1)<0 \end{cases}\]

Pozdrawiam
Ps. Pisz w kodzie :!:

[edited] Po adnotacji Jerry
Ostatnio zmieniony 26 mar 2023, 23:02 przez nijak, łącznie zmieniany 5 razy.
Jeśli doceniasz pracę autora tego rozwiązania, to podziękuj mu zostawiając 👍.

\(e^{i\pi}+1=0\)
janusz55
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1920
Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
Podziękowania: 4 razy
Otrzymane podziękowania: 459 razy

Re: Parametr m

Post autor: janusz55 »

Trzeci warunek na sumę jest zbyteczny.
Awatar użytkownika
Jerry
Expert
Expert
Posty: 3715
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 52 razy
Otrzymane podziękowania: 2007 razy

Re: Parametr m

Post autor: Jerry »

nijak pisze: 26 mar 2023, 21:48 Chodzi o to
\( \begin{cases} \Delta >0 \\ (x_1+1)(x_2-2)<0 \\ (x_1+1)+(x_2-2)<0 \end{cases}\)
janusz55 pisze: 26 mar 2023, 21:58 Trzeci warunek na sumę jest zbyteczny.
Nawet nieprawdziwy - sprawdź dla \(x_1=-2,\ x_2=5\)! A poza tym w drugim trudno będzie skorzystać z wzorów Viete'a...

Ad rem:
Dla \(\Delta(m)>0\), aby \(-1\) i \(2\) rozdzielały pierwiastki, powinno być:
\(\left(\begin{cases}x_1<-1\\ x_2>-1\end{cases}\wedge\begin{cases}x_1<2\\ x_2>2\end{cases}\right)\iff\begin{cases}(x_1+1)( x_2+1)<0\\(x_1-2)( x_2-2)<0\end{cases}\)

Pozdrawiam
PS. Jeśli, jak piszesz, chcesz się matematycznie rozwijać - ogarnij "parabole sprzyjające", które opisał nijak

[edited] uzupełnienie po poście janusz55
Awatar użytkownika
Jerry
Expert
Expert
Posty: 3715
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 52 razy
Otrzymane podziękowania: 2007 razy

Re: Parametr m

Post autor: Jerry »

nijak: Jeśli edytujesz post - informuj, proszę, o wprowadzanych zmianach!
janusz55
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1920
Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
Podziękowania: 4 razy
Otrzymane podziękowania: 459 razy

Re: Parametr m

Post autor: janusz55 »

Jeśli mamy wyrazić różnicę rozwiązań równania kwadratowego \( x_{1} - x_{2} \) przez ich sumę \( x_{1}+x_{2}, \)

podnosimy różnicę do kwadratu:

\( (x_{1} - x_{2})^2 = x^2_{1} - 2x_{1}\cdot x_{2} + x^2_{2} \ \ (*). \)

Zostawiamy podwójny iloczyn ze znakiem minus.

Sumę kwadratów pierwiastków równania \( x^2_{1} + x^2_{2} \) uzupełniamy do kwadratu sumy:

\( x^2_{1} + x^2_{2} + 2x_{1}\cdot x_{2} - 2x_{1}\cdot x_{2} = (x_{1} +x_{2})^2 - 2x_{1}\cdot x_{2} \ \ (**)\)

Uwzględniając równanie \( (**) \) w \( (*) \), otrzymujemy

\( (x_{1}-x_{2})^2 = (x_{1} + x_{2})^2 - 2x_{1}\cdot x_{2} -2x_{1}\cdot x_{2} = (x_{1}+x_{2})^2 -4x_{1}\cdot x_{2}. \)

\( x_{1} - x_{2} = \pm \sqrt{(x_{1}+x_{2})^2 - 4x_{1}\cdot x_{2}}.\)
Awatar użytkownika
Jerry
Expert
Expert
Posty: 3715
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 52 razy
Otrzymane podziękowania: 2007 razy

Re: Parametr m

Post autor: Jerry »

pinkfl33 pisze: 27 mar 2023, 09:48 Czyli jak to można zastosować w rozwiązaniu tego zadania?
Post janusz55 nic nie wnosi do rozstrzyganego problemu, zatem najlepiej wykorzystać wskazówki z moich postów :idea:

Pozdrawiam
PS. Dla \(\Delta\ge0\) mamy
\[|x_1-x_2|=\left|\frac{-b-\sqrt\Delta}{2a}-\frac{-b+\sqrt\Delta}{2a}\right|=\left|\frac{-2\sqrt\Delta}{2a}\right|=\frac{\sqrt\Delta}{|a|}\]
Zablokowany