zadanie optymalizacyjne

[BarT123oks]

Dla jakich wartości parametru k, \(k \in R\), suma dwóch różnych rozwiązań równania \((k^2-16)x^2+3x+0,25=0\) jest najmniejsza?

[Jerry]

\(\begin{cases}k^2-16\ne0\\9-4\cdot(k^2-16)\cdot0,25>0\end{cases}\So x_1+x_2=f(k)=\frac{-3}{k^2-16}\)
Ponieważ
\(f'(k)=3(k^2-16)^{-2}\cdot2k\wedge D'=D=(-5;5)\setminus\{-4,4\}\)
WKIE: \(f'(k)=0\iff k=0\)
WDIE: pochodna zmienia swój znak w \(k=0\) z ujemnego na dodatni , zatem \(\begin{cases}x=0\\ f_\min(k)=f(0)={3\over16}\end{cases}\)

Pozdrawiam

[edited] poprawka błędu!

[eresh]

Dla jakich wartości parametru k, \(k \in R\), suma dwóch różnych rozwiązań równania \((k^2-16)x^2+3x+0,25=0\) jest najmniejsza?

1.
\(k\neq 4\\
k\neq -4\\\)

2.
\(\Delta>0\\
9-k^2+16>0\\
k^2-25<0\\
k\in (-5,5)\)

\(k\in (-5,5)\setminus\{-4,4\}\)

\(f(k)=\frac{3}{-k^2+16}\\
g(k)=-k^2+16\)
g przyjmuje wartość największą dla \(k=\frac{0}{-2}=0\), więc \(f(k)=\frac{1}{g(x)}\) przyjmuje wartość najmniejszą dla \(k=0\)