Graniastosłup prawidłowy sześciokątnym

[Korni131]

W graniastosłupie prawidłowym sześciokątnym najdłuższa przekątna ma długość d i tworzy kąt \( \alpha \) z krawędzią boczną. Objętość tego graniastosłupa wyraża się wzorem \(kd³ \sin 2 \alpha \cos \alpha \) gdzie k jest stałym współczynnikiem liczbowym.
Oblicz współczynnik k
Zadanie z aksjomatu 2023/24 i mam podejrzenie,że jest błąd bo w szkicu odpowiedzi mylą cos z sinusem lub źle opisali kąt alfa.

[janusz55]

Nie mylą się wszystko jest dobrze.
Funkcją sinus obliczamy długość krawędzi podstawy graniastosłupa.
Funkcją kosinus - długość wysokości graniastosłupa.
\( k = \ \ ... \)

[Korni131]

Nie mylą wszystko jest dobrze.
Funkcją sinus obliczamy długość krawędzi podstawy graniastosłupa.
Funkcją kosinus - długość wysokości graniastosłupa.
\( k = \ \ ... \)

Wiem jak to się robi tylko tu trzeba doprowadzić do wzoru kd3sin2acosa a ale nie można bo wychodzi kd³sin²acosa --> xxxxsin2asina
Jak podniesiesz a²=\( \frac{sin²ad²}{2} \)

W rozwiązaniu w książce biorą \(sina= \frac{H}{d} \) i \( cosa=\frac{2a}{d} \) to mi właśnie nie gra

[janusz55]

Nie znam rozwiązania w książce. Jednak się mylą. Jeśli tak zapisali, to jest błąd. Jest jak piszesz - odwrotnie.

\( V = \frac{3}{16}\sqrt{3} \cdot d^3\cdot \sin(2\alpha)\cdot \cos(\alpha).\)

Stąd

\( k = \frac{3}{16}\sqrt{3}.\)

[Korni131]

W książce rozwiązanie\( \frac{ 3\sqrt{3} }{16}d³sin2acosa \) a poprawnie wychodzi \( \frac{3 \sqrt{3} }{16}d³sin2asina\) więc k wychodzi takie samo ale końcówki wzorów się różnią

[janusz55]

Jeśli zaznaczymy kąt \( \alpha \) między przekątną główną graniastosłupa a jego krawędżią boczną to z trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych długości \( 2a, h \) i przeciwprostokątnej długości \( d \) otrzymujemy kolejno :

\( \sin(\alpha) = \frac{2a}{d}, \ \ a = \frac{d \sin(\alpha)}{2}, \ \ h = d\cos(\alpha). \)

Po wstawieniu tych równań do wzoru na objętość \( V \) graniastosłupa prawidłowego-sześciokątnego

\( V = \frac{3}{2} a^2\sqrt{3}\cdot h = \frac{3}{8}\sqrt{3}\cdot d^3\sin^2(\alpha)\cos(\alpha) = \frac{3}{8}\sqrt{3} d^3\cdot \sin(\alpha)\cos(\alpha)\sin(\alpha) = \frac{3}{16}\sqrt{3} \cdot 2\sin(\alpha)\cos(\alpha)\sin(\alpha) = \)

\( = \frac{3}{16}\sqrt{3}\cdot d^3\sin(2\alpha)\sin(\alpha). \)