Funkcje rozwinąć w szereg Maclaurina
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Funkcje rozwinąć w szereg Maclaurina
Funkcje \(f(x)= \frac{x^2}{1+4x}\) rozwinąć w szereg Maclaurina. Podac wraz z uzasadnieniem przedział zbieżności.
- patryk00714
- Mistrz
- Posty: 8799
- Rejestracja: 13 mar 2011, 12:28
- Lokalizacja: Śmigiel
- Podziękowania: 92 razy
- Otrzymane podziękowania: 4450 razy
- Płeć:
- panb
- Expert
- Posty: 5122
- Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
- Lokalizacja: Nowiny Wielkie
- Podziękowania: 19 razy
- Otrzymane podziękowania: 2053 razy
- Płeć:
A słyszałaś o szeregu geometrycznym? Jeśli nie, to zerknij tutaj.
Twoja funkcja bardzo przypomina sumę szeregu geometrycznego. Jeśli się ją zapisze w postaci \(f(x)= \frac{x^2}{1-(-4x)}\), to może nawet ty dostrzeżesz podobieństwo do \(\frac{a_1}{1-q}\).
Widać, że \(a_1=x^2,\quad q=-4x\). Musi być przy tym spełniony warunek \(|q|<1 \iff |-4x|<1 \iff 4|x|<1 \iff |x|< \frac{1}{4}\) i to jest właśnie ten "przedział zbieżności", o którym piszą w zadaniu.
Jeżeli \(|x|< \frac{1}{4}\), to funkcję \(f(x)= \frac{x^2}{1+4x}\) można zapisać jako sumę szeregu geometrycznego.
Ten szereg, to właśnie szukany szereg pana M. Spróbuj sama go sobie zbudować korzystając z info w podanym wyżej linku (albo z innego źródła). Napisz co ci wyszło, bo ktoś mający podobne zadanie może potem z tego skorzystać - taka jest idea tego portalu (chyba).
P.S. Tak z ciekawości, co studiujesz?
Twoja funkcja bardzo przypomina sumę szeregu geometrycznego. Jeśli się ją zapisze w postaci \(f(x)= \frac{x^2}{1-(-4x)}\), to może nawet ty dostrzeżesz podobieństwo do \(\frac{a_1}{1-q}\).
Widać, że \(a_1=x^2,\quad q=-4x\). Musi być przy tym spełniony warunek \(|q|<1 \iff |-4x|<1 \iff 4|x|<1 \iff |x|< \frac{1}{4}\) i to jest właśnie ten "przedział zbieżności", o którym piszą w zadaniu.
Jeżeli \(|x|< \frac{1}{4}\), to funkcję \(f(x)= \frac{x^2}{1+4x}\) można zapisać jako sumę szeregu geometrycznego.
Ten szereg, to właśnie szukany szereg pana M. Spróbuj sama go sobie zbudować korzystając z info w podanym wyżej linku (albo z innego źródła). Napisz co ci wyszło, bo ktoś mający podobne zadanie może potem z tego skorzystać - taka jest idea tego portalu (chyba).
P.S. Tak z ciekawości, co studiujesz?