Nierówność logarytmiczna

[Dosjan]

Bardzo proszę o pomoc w rozwiązaniu takiej nierówności:
\(log_{\frac{x}{2}}8+log_{\frac{x}{4}}8<\frac{log_{2}x^{2}}{log_{2}x^{2}-4}\)

[Kasienka]

\(log_{\frac{x}{2}}8+log_{\frac{x}{4}}8<\frac{log_{2}x^{2}}{log_{2}x^{2}-4}

\frac{log_28}{log_2{\frac{x}{2}}}+\frac{log_28}{log_2{\frac{x}{4}}}<\frac{2log_{2}x}{2log_{2}x-4}
\frac{log_28}{log_2{\frac{x}{2}}}+\frac{log_28}{log_2{\frac{x}{4}}}<\frac{log_{2}x}{log_{2}x-2}
\frac{3}{log_2{x}-log_22}+\frac{3}{log_2x-log_24}<\frac{log_{2}x}{log_{2}x-2}
\frac{3}{log_2{x}-1}+\frac{3}{log_2x-2}<\frac{log_{2}x}{log_{2}x-2}
log_2x=t
\frac{3}{t-1}+\frac{3}{t-2}<\frac{t}{t-2}
\frac{3(t-2+t-1)}{(t-1)(t-2)}-\frac{t}{t-2}<0
\frac{3(2t-3)-t(t-1)}{(t-1)(t-2)}<0
[6t-9-t^2+t](t-1)(t-2)<0
[-t^2+7t-9](t-1)(t-2)<0
-(t^2-7t+9)(t-1)(t-2)<0
(t^2-7t+9)(t-1)(t-2)>0
\Delta=49-36=(\sqrt{13})^2
t_1=\frac{7+\sqrt{13}}{2}
t_2=\frac{7-\sqrt{13}}{2}
t_3=1
t_4=3
t \in (- \infty ,\frac{7-\sqrt{13}}{2}) \cup (1,\frac{7+\sqrt{13}}{2}) \cup (3, \infty )
log_2x=1
log_2x=log_22
x=2

log_2x=3
log_2x=log_22^3
x=8

log_2x=\frac{7+\sqrt{13}}{2}\)
itd.


nie wiem czy to dobrze, bo już późno
jak coś poprawcie:)

dobranoc;p

[irena]

Przed rozwiązywaniem równania, czy nierówności najpierw trzeba zrobić założenia.
Tutaj musi być:
\(\begin{cases}\frac{x}{2}>0\\\frac{x}{2} \neq 1\\\frac{x}{4}>0\\\frac{x}{4} \neq 1\\log_2x^2-4 \neq 0 \end{cases} \ \ \ \ \ \ \Leftrightarrow \begin{cases}x>0\\x \neq 2\\x \neq 4 \end{cases}\)

Przy rozwiązywaniu nierówności też otrzymałam warunek:
\((t^2-7t+9)(t-1)(t-2)>0\\t_1=\frac{7+\sqrt{13}}{2}\ \vee \ t_2=\frac{7-\sqrt{13}}{2}\ \vee \ t_3=1\ \vee \ t_4=2\)

Tam pomyliłaś się chyba w podaniu \(t_4\)- sprawdź.

\(1\ <\ \frac{7-\sqrt{13}}{2}\ <\ 2\ <\ \frac{7+\sqrt{13}}{2}\)

\(t \in (- \infty ;\ 1)\ \cup \ (\frac{7-\sqrt{13}}{2};\ 2)\ \cup \ (\frac{7+\sqrt{13}}{2};\ \infty )\)

\(log_2x<1 \Leftrightarrow x<2\)

\(\frac{7-\sqrt{13}}{2}<log_2x<2 \Leftrightarrow x \in (2^{\frac{7-\sqrt{13}}{2}};\ 4)\)

\(log_2x>\frac{7+\sqrt{13}}{2} \Leftrightarrow x \in (2^{\frac{7+\sqrt{13}}{2}};\ \infty )\)

Biorąc pod uwagę założenia:

\(x \in (0;\ 2)\ \cup \ (2^{\frac{7-\sqrt{13}}{2}};\ 4)\ \cup \ (2^{\frac{7+\sqrt{13}}{2}};\ \infty )\)

Wygląda to nieciekawie, może ktoś jeszcze by na to zerknął?

[Dosjan]

Bardzo dziękuję za pomoc. Odpowiedz do tego zadania jest odrobinę inna bo \(x \in (0,2) \cup (4,+ \infty )\) ale najważniejsze, że zrozumiałem tok rozwiązania. Spróbuję jeszcze narysować te przedziały, może tam jest jakaś pomyłka. Jeszcze raz dziękuję i życzę radosnych Świąt.

[irena]

Ale sprawdź tę nierówność dla x=8:
\(log_48+log_28<\frac{log_264}{log_264-4}\\\frac{log_28}{log_24}+log_28<\frac{6}{6-4}\\\frac{3}{2}+3<\frac{6}{2}\\\frac{9}{2}<3\)

Albo źle zapisałeś nierówność, albo jest błąd w odpowiedziach.