Znajdź wszystkie trójki liczb całkowitych dodatnich takie, że:
\(1/x+1/y=1/z\)
Dzięki
Znaleźć rozwiązanie równania
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
- Rozkręcam się
- Posty: 47
- Rejestracja: 23 maja 2016, 10:47
- Podziękowania: 22 razy
- Płeć:
-
- Guru
- Posty: 17552
- Rejestracja: 09 lis 2010, 07:38
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękowania: 41 razy
- Otrzymane podziękowania: 7436 razy
- Płeć:
Dobra będzie każda trójka postaci:
1) \(x=y=2k,z=k,k \in C\)
wtedy:
\(\frac{1}{x}+ \frac{1}{y}= \frac{1}{2k}+ \frac{1}{2k}= \frac{2}{2k} = \frac{1}{k} = \frac{1}{z}\)
czyli np:
\(\frac{1}{2}+ \frac{1}{2} = \frac{1}{1}\)
\(\frac{1}{4}+ \frac{1}{4} = \frac{1}{2}\)
\(\frac{1}{6}+ \frac{1}{6} = \frac{1}{3}\)
itd
2) \(x=k(k+1),y=k+1,z=k,k \in C\)
wtedy:
\(\frac{1}{x}+ \frac{1}{y}= \frac{1}{k(k+1)}+ \frac{1}{k+1}= \frac{1}{k(k+1)}+ \frac{k}{k(k+1)}= \frac{1}{k}= \frac{1}{z}\)
czyli np:
\(\frac{1}{6}+ \frac{1}{3} = \frac{1}{2}\)
\(\frac{1}{12}+ \frac{1}{4} = \frac{1}{3}\)
\(\frac{1}{20}+ \frac{1}{5} = \frac{1}{4}\)
itd
Pozostało dowieść , że innych nie ma (o ile to prawda).
1) \(x=y=2k,z=k,k \in C\)
wtedy:
\(\frac{1}{x}+ \frac{1}{y}= \frac{1}{2k}+ \frac{1}{2k}= \frac{2}{2k} = \frac{1}{k} = \frac{1}{z}\)
czyli np:
\(\frac{1}{2}+ \frac{1}{2} = \frac{1}{1}\)
\(\frac{1}{4}+ \frac{1}{4} = \frac{1}{2}\)
\(\frac{1}{6}+ \frac{1}{6} = \frac{1}{3}\)
itd
2) \(x=k(k+1),y=k+1,z=k,k \in C\)
wtedy:
\(\frac{1}{x}+ \frac{1}{y}= \frac{1}{k(k+1)}+ \frac{1}{k+1}= \frac{1}{k(k+1)}+ \frac{k}{k(k+1)}= \frac{1}{k}= \frac{1}{z}\)
czyli np:
\(\frac{1}{6}+ \frac{1}{3} = \frac{1}{2}\)
\(\frac{1}{12}+ \frac{1}{4} = \frac{1}{3}\)
\(\frac{1}{20}+ \frac{1}{5} = \frac{1}{4}\)
itd
Pozostało dowieść , że innych nie ma (o ile to prawda).
-
- Guru
- Posty: 17552
- Rejestracja: 09 lis 2010, 07:38
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękowania: 41 razy
- Otrzymane podziękowania: 7436 razy
- Płeć:
Myślę, że w dowodzie można by się posłużyć twierdzeniem zamieszczonym prze Ciebie tu: viewtopic.php?f=46&t=83214 oczywiście, po jego uprzednim udowodnieniu.
Jak na gimnazjum to są to dość trudne zadania, chociaż przyznam, że nie wymagają wiadomości spoza gimnazjum.
Jak na gimnazjum to są to dość trudne zadania, chociaż przyznam, że nie wymagają wiadomości spoza gimnazjum.
-
- Rozkręcam się
- Posty: 47
- Rejestracja: 23 maja 2016, 10:47
- Podziękowania: 22 razy
- Płeć:
-
- Rozkręcam się
- Posty: 47
- Rejestracja: 23 maja 2016, 10:47
- Podziękowania: 22 razy
- Płeć: