Uzasadnij nierówność, korzystając z tw. Lagrange'a:
\(\sin x \le |x|\)
\(x \in R\)
Tw. Lagrange'a - nierówność
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
Panko
- Fachowiec
- Posty: 2946
- Rejestracja: 20 gru 2013, 21:41
- Lokalizacja: Radom
- Otrzymane podziękowania: 1556 razy
- Płeć:
Re: Tw. Lagrange'a - nierówność
weźmy przedział \(I=\) \([-x,x]\) \(\\) ,\(x \in R\)
\(f(x)= \sin x\) , ciągła w \(I\)
wtedy \(\exists\)\(x_1 \in (-x,x)\) : \(\frac{ \sin x- \sin (-x)}{x-(-x)} = \cos (x_1)\)
czyli \(\\) \(\sin x=x \cdot \cos (x_1)\) stąd \(\\) \(| \sin x|=|x| \cdot |\cos (x_1) |\)
oraz \(\\) \(| \cos (x_1)| \le 1\)
stąd\(\\) \(| \sin x|=|x| \cdot | \cos (x_1)| \le |x|\)
ostatecznie : \(\sin x \le | \sin x| \le |x|\)
\(f(x)= \sin x\) , ciągła w \(I\)
wtedy \(\exists\)\(x_1 \in (-x,x)\) : \(\frac{ \sin x- \sin (-x)}{x-(-x)} = \cos (x_1)\)
czyli \(\\) \(\sin x=x \cdot \cos (x_1)\) stąd \(\\) \(| \sin x|=|x| \cdot |\cos (x_1) |\)
oraz \(\\) \(| \cos (x_1)| \le 1\)
stąd\(\\) \(| \sin x|=|x| \cdot | \cos (x_1)| \le |x|\)
ostatecznie : \(\sin x \le | \sin x| \le |x|\)