Wzór ciągu rekurencyjnego

[edwin20]

Zbadaj zbieżność ciągu:
\(x_0=2\)
\(x_{n+1} =2(x_n)^{-1}\)
Trzeba wyznaczyć, wzór ogólny, ale nie wiem jak to zrobić. Po wyliczeniu początkowch wyrazów wychodzi, że na przemian przyjmują wartośći 1 i 2. Proszę o pomoc.

[panb]

No to wszystko jasne. Taki ciąg nie jest zbieżny, bo miałby 2 granice (to jak pies z dwoma ... ogonami).
A ściśle rzecz biorąc, można wybrać dwa podciągi zbieżne do rożnych granic, co oznacza, że ciąg "gospodarz" nie ma granicy.

[edwin20]

Czyli wyliczam kilka początkowych wyrazów i co dalej mam zapisać, żeby dać odpowiedź, gdybym miał takie zadanie na egzaminie?

[radagast]

wypisujesz kilka pierwszych wyrazów i dochodzisz do wniosku , że jest to ciąg :2,1,2,1,2,...
czyli wzór ogólny to \(a_n= \begin{cases}2\ \ dla\ \ n\ nieparzystych\\ 1\ \ dla\ \ n\ \ \ \ parzystych \end{cases}\)

[edwin20]

To powinno wystarczyć, czy muszę coś udowadniać itp. ? A co gdyby np. wychodził ciąg arytmetyczny? Wtedy jak znaleźć wzór ogólny ciągu?

[panb]

Nie szukaj na siłę problemu. Pamiętaj, nie masz przeprowadzić ankiety tylko rozwiązać zadanie.
Odpowiedz na pytanie i uzasadnij odpowiedź - to wszystko.
Acha, lepiej nie wspominaj o psie.

[Robakks]

\(a_{0}=2\\a_{1}=1\\
a_{n}=a_{n-2}\\
A \left(x \right)= \sum_{n=0}^{ \infty } a_{n}x^{n}\\
\sum_{n=2}^{ \infty } a_{n}x^{n}=\sum_{n=2}^{ \infty } a_{n-2}x^{n}\\
\sum_{n=2}^{ \infty } a_{n}x^{n}=x^2\sum_{n=2}^{ \infty } a_{n-2}x^{n-2}\\
\sum_{n=0}^{ \infty } a_{n}x^{n}-2-x=x^2\sum_{n=0}^{ \infty } a_{n}x^{n}\\
A \left(x \right)-x^2A \left(x \right)=x+2\\
A \left(x \right) \left(1-x^2 \right)=x+2\\
A \left( x\right)=\frac{1}{2}\frac{2x+4}{ \left(1-x\right) \left(1+x \right) } \\
A \left( x\right)=\frac{1}{2}\frac{ 3\left(1+x\right)+ \left(1-x \right) }{\left(1-x\right) \left(1+x \right)} \\
A \left( x\right)=\frac{1}{2}\frac{3}{1-x}+\frac{1}{2}\frac{1}{1+x}\\
A \left( x\right)= \sum_{n=0}^{ \infty }\frac{3}{2}x^n+ \sum_{n=0}^{ \infty }\frac{1}{2} \left(-1 \right) ^nx^n \\
a_{n}=\frac{3}{2}+ \frac{1}{2} \left(-1 \right) ^n\\\)