równanie różniczkowe

[kakapipe]

\(y'-( \frac{1}{x}sinx)y=-3 \frac{sinx}{x}y^2\)

[panb]

To wygląda na równanie Bernoulli'ego (jest \(\,\,y',\,\, y\,\, i\,\, y^2\))
Procedura jest taka:

1. obie strony podzielić przez \(y^2\),
2. podstawić \(u= \frac{1}{y} \So u'= -\frac{y'}{y^2}\),
3. rozwiązać otrzymane równanie liniowe tzn. znaleźć u,
4. obliczyć \(y= \frac{1}{u}\)

ad 1. \(\,\,\frac{y'}{y^2} - \frac{\sin x}{x} \cdot \frac{1}{y} = -3\frac{\sin x}{x} \,\, / \cdot (-1)\\
-\frac{y'}{y^2} + \frac{\sin x}{x} \cdot \frac{1}{y} = 3\frac{\sin x}{x}\)
ad2. \(\,\,u'+ \frac{\sin x}{x}u=3\frac{\sin x}{x}\)

• Potrzebna jest całka z \(\frac{\sin x}{x}\), a nie da się jej wyrazić za pomocą funkcji elementarnych. Istnieje funkcja nazywana sinus całkowy \(Si(x)= \int_{0}^{x} \frac{\sin t}{t}dt :\,\, \left[Si(x) \right]'= \frac{\sin x}{x}\). Używając jej można przejść do punktu 3

ad 3. \(\,\, u=Ce^{-Si(x)}+3 \iff u= \frac{C+3e^{Si(x)}}{e^{Si(x)}}\)
ad 4. \(\,\,y= \frac{e^{Si(x)}}{C+3e^{Si(x)}}\)

Mam nadzieję, że omawialiście tego sinusa całkowego i takie rozwiązanie jest do przyjęcia.

[kakapipe]

NIestety nie omawialiśmy .