Hej mam kilka zadanek z funkcji wykładniczej z którymi nie potrafię sobie poradzić. Czy byłby ktoś tak super miły i pomógł mi w ich rozwiązaniu? Oto one:
1. Uzasadnij, że dla dowolnych liczb \(a \in R_{+}, k,n \in R\) zachodzi równość
\((a^{n}+ \frac{1}{a^{n}})(a^{k}+ \frac{1}{a^{k}})=a^{n+k}+ \frac{1}{a^{n+k}}+a^{n-k}+ \frac{1}{a^{n-k}}\)
Wykorzystując tę równość i wiedząc, że \(a+ \frac{1}{a}=3\) oblicz: \(a^{5}+ \frac{1}{a^{5}}\)
2. Funkcja f okreslona jest wzorem \(f(x)=|5^{x}+b|\), gdzie b jest pewną liczbą rzeczywistą.
a) Znajdź argumenty, dla których funkcja f przyjmuje wartość \(\sqrt{5 \frac{19}{25} }\), jeśli \(b=-2,6\)
b) Określ liczbę rozwiązań równania \(f(x)=m\) w zależności od wartości parametru m wiedząc, że \(b\) jest liczbą ujemną
3. Funkcja f określona jest wzorem \(f(x)=6^{x}-6^{-x}\).
a) Wykaż, że funkcja f dla przeciwnych argumentów przyjmuje przeciwne wartości
b) Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej \(n\) liczba \(6^{n} \cdot f(n)\) jest iloczynem dwóch kolejnych liczb nieparzystych
4. Funkcja f określona jest wzorem \(3^{x}+3^{-x}\)
a) Uzasadnij, że wykres funkcji jest symetryczny względem osi \(OY\)
b) Wyznacz najmniejszą wartość funkcji
5. Wyznacz te wartości parametru k, dla których funkcja \(f(x)=2^{x^{2}+kx+k}\) nie przyjmuje wartości mniejszych od 1
6. Ustal liczbę rozwiązań równania \(3^{x} \cdot (x+3)=x+6\)
7. Dane jest równanie \(x^{2}+(9^{a}=3^{a})x+27^{a}=0\), w którym niewiadomą jest \(x\). Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(a\) dane równanie ma co najmniej jedno rozwiązanie
Z góry bardzo dziękuje za wszelaką pomoc w rozkminieniu tych zadanek.
Obiecuje "+"iki
Funkcja wykładnicza
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
- Dopiero zaczynam
- Posty: 15
- Rejestracja: 28 lut 2010, 22:36
1.
\(a+\frac{1}{a}=3\\(a+\frac{1}{a})^2=9=a^2+\frac{1}{a^2}+2\\a^2+\frac{1}{a^2}=7\\(a^2+\frac{1}{a^2})(a+\frac{1}{a})=a^3+\frac{1}{a^3}+a+\frac{1}{a}\\7\cdot3=a^3+\frac{1}{a^3}+3\\a^3+\frac{1}{a^3}=21-3=18\\(a^3+\frac{1}{a^3})(a^2+\fra{1}{a^2})=a^5+\frac{1}{a^5}+a+\frac{1}{a}\\18\cdot7=a^5+\frac{1}{a^5}+3\\a^5+\frac{1}{a^5}=126-3=123\)
\(a+\frac{1}{a}=3\\(a+\frac{1}{a})^2=9=a^2+\frac{1}{a^2}+2\\a^2+\frac{1}{a^2}=7\\(a^2+\frac{1}{a^2})(a+\frac{1}{a})=a^3+\frac{1}{a^3}+a+\frac{1}{a}\\7\cdot3=a^3+\frac{1}{a^3}+3\\a^3+\frac{1}{a^3}=21-3=18\\(a^3+\frac{1}{a^3})(a^2+\fra{1}{a^2})=a^5+\frac{1}{a^5}+a+\frac{1}{a}\\18\cdot7=a^5+\frac{1}{a^5}+3\\a^5+\frac{1}{a^5}=126-3=123\)
2.
\(f(x)=|5^x+b|\)
a)
\(f(x)=\sqrt{5\frac{19}{25}}=\sqrt{\frac{144}{25}}=\frac{12}{5}=2,4\)
\(|5^x-2,6|=2,4 \Leftrightarrow 5^x-2,6=2,4\ \vee \ 5^x-2,6=-2,4 \Leftrightarrow 5^x=0,2\ \vee \ 5^x=5 \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow 5^x=\frac{1}{5}\ \vee 5^x=5 \Leftrightarrow x=-1\ \vee \ x=1\)
b)
b<0
Funkcja \(g(x)=5^x+b\) przyjmuje wartości \((b;\ \infty )\). Funkcja \(f(x)=|5^x+b|\) przyjmuje wartości ze zbioru \(<0;\ \infty )\). Ponieważ funkcja g(x) ma asymptotę poziomą o równaniu y=b, więc gunkcja f(x) ma asymptotę poziomą o równaniu y=-b.
- Dla \(m \in (- \infty ;\ 0)\) to równanie nie ma rozwiązań.
- Dla \(m \in <-b;\ \infty ) \cup \left\{0 \right\}\) równanie ma 1 rozwiązanie.
- Dla \(m \in (0;\ -b)\) równanie ma 2 rozwiązania.
\(f(x)=|5^x+b|\)
a)
\(f(x)=\sqrt{5\frac{19}{25}}=\sqrt{\frac{144}{25}}=\frac{12}{5}=2,4\)
\(|5^x-2,6|=2,4 \Leftrightarrow 5^x-2,6=2,4\ \vee \ 5^x-2,6=-2,4 \Leftrightarrow 5^x=0,2\ \vee \ 5^x=5 \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow 5^x=\frac{1}{5}\ \vee 5^x=5 \Leftrightarrow x=-1\ \vee \ x=1\)
b)
b<0
Funkcja \(g(x)=5^x+b\) przyjmuje wartości \((b;\ \infty )\). Funkcja \(f(x)=|5^x+b|\) przyjmuje wartości ze zbioru \(<0;\ \infty )\). Ponieważ funkcja g(x) ma asymptotę poziomą o równaniu y=b, więc gunkcja f(x) ma asymptotę poziomą o równaniu y=-b.
- Dla \(m \in (- \infty ;\ 0)\) to równanie nie ma rozwiązań.
- Dla \(m \in <-b;\ \infty ) \cup \left\{0 \right\}\) równanie ma 1 rozwiązanie.
- Dla \(m \in (0;\ -b)\) równanie ma 2 rozwiązania.
O co chodzi z tymi dwiema równościami???piwowarczyk85 pisze: 7. Dane jest równanie \(x^{2}+(9^{a}=3^{a})x+27^{a}=0\), w którym niewiadomą jest \(x\). Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(a\) dane równanie ma co najmniej jedno rozwiązanie
Polecenie rozumiem tak, że ponieważ jest to funkcja kwadratowa, która ma mieć co najmniej jedno rozwiązania należy policzyć \(\Delta\) i pokazać, ze jest ona nieujemna.