stozek wpisany

[Ares97]

W kulę wpisano stożek. Wykaż, że objętość stożka Vs i objętość kuli Vk spełniają warunek \(Vs \le \frac{8}{27} Vk\)

Bardzo prosze o pomoc, poniewaz totalnie nie mam pojęcia jak wykonac to zadanie

[kuba [6]]

Przyjmijmy, że kula ma promień \(R\), tworząca stożka to \(b\), promień podstawy to \(a\).
Wówczas:
\(V_k= \frac{4}{3} \pi R^3, V_s= \frac{1}{3} \pi a^2 \sqrt{b^2-a^2}\).
Zachodzi: \(\frac{2ab^2}{4a \sqrt{b^2-a^2} }=R\), czyli
\(\sqrt{b^2-a^2} = \frac{b^2}{2R} \\
b^2-a^2= \frac{b^4}{4R^2} \\ a^2=b^2- \frac{b^4}{4R^2}\)
(stąd też wynika, że \(2R>b\)).
Podstawiając otrzymaną wartość, zadaną nierówność przepisujemy jako:
\(\frac{1}{3} \pi (b^2- \frac{b^4}{4R^2} ) \cdot \frac{b^2}{2R} \le \frac{32}{81} \cdot \pi R^3\).
Podstawmy \(R= \frac{k}{2} \cdot b\), gdzie \(k>1\).
Teraz mamy więc dowieść:
\((b^2- \frac{b^4}{k^2b^2}) \cdot \frac{b^2}{kb} \le \frac{32}{27} \cdot \frac{b^3k^3}{8}= \frac{4k^3b^3}{27} \\
b^3( \frac{1}{k}- \frac{1}{k^3}) \le b^3 \cdot \frac{4k^3}{27}\\
\frac{1}{k}- \frac{1}{k^3} \le \frac{4k^3}{27}\\
27k^2-27 \le 4k^6 \\
0 \le 4k^6-27k^2+27\).
W tym miejscu rozważamy funkcję \(f(k)=4k^6-27k^2+27\), dla \(k>1\).
\(f'(k)=24k^5-54k\), pochodna zeruje się dla \(k=0\) lub \(k= \sqrt{ \frac{3}{2} }\) lub \(k=-\sqrt{ \frac{3}{2} }\). Liczymy \(f( \sqrt{ \frac{3}{2} })=0\) i patrząc na znak pochodnej łatwo zauważyć, że jest to najmniejsza wartość tej funkcji w tym przedziale, dowiedliśmy więc prawidłowości ostatniej nierówności, która jest równoważna wyjściowej, kończąc dowód.

[irena]

R- promień kuli (promień okręgu opisanego na trójkącie, który jest przekrojem osiowym stożka)
r- promień podstawy stożka
H- wysokość stożka
l- tworząca stożka

Z pola przekroju osiowego:
\(\frac{1}{2}\cdot2rH=\frac{2rl^2}{4R}\\H=\frac{l^2}{2R}\\l^2=H^2+r^2\\H=\frac{H^2+r^2}{2R}\\2RH=H^2+r^2\\r^2=2RH-H^2\\0<H<2R\)

Objętość stożka:
\(V_s=\frac{1}{3}\pi(2RH-H^2)\cdot H=\frac{\pi}{3}(2RH^2-H^3)\\V'=\frac{\pi}{3}(4RH-3H^2)\\V'=0\\3H^2=4RH\\H=\frac{4}{3}R\\r^2=2R\cdot\frac{4}{3}R-\frac{16}{9}R^2=\frac{8}{9}R^2\\V_{max}=\frac{1}{3}\pi\cdot\frac{8}{9}R^2\cdot\frac{4}{3}R=\frac{4}{3}\pi R^3\cdot\frac{8}{27}\)

Największa możliwa objętość stożka wpisanego w kulę o promieniu R wynosi
\(V_s=\frac{8}{27}\cdot\frac{4}{3}\pi R^3\)

Objętość kuli:
\(V_k=\frac{4}{3}\pi R^3\)

Stąd:
\(V_s\le\frac{8}{27}V_k\)

[irena]

Oczywiście,
\(V'>0\)
dla \(0<H<\frac{4}{3}R\)
oraz
\(V'<0\)
dla \(\frac{4}{3}R<H<2R\).


Dla \(H=\frac{4}{3}R\) stożek ma największą objętość.

[Ares97]

Dzięki Wam!
przeanalizowałem oba rozwiązania, aczkolwiek mam pytanie co do sposobu Kuby tj.
jak otrzymano: \(\frac{2ab^2}{4a \sqrt{b^2-a^2} }=R\)

[kuba [6]]

Fakt, zapomniałem dopisać, że korzystam ze wzoru \(R= \frac{abc}{4P}\), gdzie \(a, b, c\) to boki trójkąta, a \(P\) - jego pole.

[Ares97]

super, dzięki