Układ współrzędnych

[Areage]

Zaznacz w układzie współrzędnych zbiór wszystkich punktów (x,y) których współrzędne spełniają nierówność \(y^{2} + x^{2} \le 2|x|y\).
Wykorzystując wzory skróconego mnożenia otrzymałem \(y \le |x|\).

W książce odpowiedzią jest narysowana w układzie współrzędnych prosta \(y = |x|\) (bez pola pod nią).

[Galen]

Rozważ dwa przypadki:
I
\(x>0\\y^2+x^2\le 2xy\\x^2-2xy+y^2\le 0\\(x-y)^2\le 0\\y=x\;\;\;i\;\;\;x\ge 0\)
Półprosta w pierwszej ćwiartce.
II
\(x<0\\y^2+x^2\le -2xy\\
x^2+2xy+y^2\le 0\\(x+y)^2\le 0\\y=-x\;\;\;\;\;i\;\;\;\;x<0\)
Półprosta w drugiej ćwiartce.

Kwadrat wyrażeń nie może być ujemny,dlatego nie ma nic pod półprostymi.

[pytajnik++]

\(y^2+|x|^2 \le 2|x|y\)
\(y^2-2|x|y+|x|^2 \le 0\)
\((y^2-|x|)^2 \le 0\)

Widac teraz ze to wyrazenie jest zawsze nieujemne a jedyna mozliwa sytuacja kiedy to wyrazenie bedzie prawdziwe jest wtedy gdy \(y=|x|\)

[tylkojedynka]

Zaznacz w układzie współrzędnych zbiór wszystkich punktów (x,y) których współrzędne spełniają nierówność \(y^{2} + x^{2} \le 2|x|y\).
Wykorzystując wzory skróconego mnożenia otrzymałem \(y \le |x|\).

\((y-|x|)^2 \le 0 \iff y=|x|\)