Granice ciągu ciąg dalszy

[pytający231]

Oblicz granicę ciągu:
1) \(\Lim_{n\to+ \infty }\) sin 2n - 2n / 3n+5
2) \(\Lim_{n\to+ \infty }\) (-1)^n * n^2 + 2 / n+4
3) \(\Lim_{n\to+ \infty } ( \sqrt{2^n+e^n+pi^n} )\)

[radagast]

Oblicz granicę ciągu:
1) \(\Lim_{n\to+ \infty }\) sin 2n - 2n / 3n+5

napisz to porządnie
Nie wiadomo czy jest tak:
\(\Lim_{n\to+ \infty }\) ( sin 2n - 2n) / (3n+5)
czy tak : \(\Lim_{n\to+ \infty }\) sin 2n - (2n / 3n+5)
a może jeszcze jakoś inaczej
2) też nieczytelne.

[radagast]

Oblicz granicę ciągu:
3) \(\Lim_{n\to+ \infty } ( \sqrt{2^n+e^n+pi^n} )\)

przypuszczam , że miało być : \(\Lim_{n\to+ \infty } ( \sqrt[n]{2^n+e^n+pi^n} )\)
(jeśli jest tak jak napisałeś, to granica jest \(\infty\) i nie ma o czym gadać.)

\(\sqrt[n]{\pi^n}\le \sqrt[n]{2^n+e^n+\pi^n} \le \sqrt[n]{3\pi^n}\)
\(\Lim_{n\to \infty }\sqrt[n]{3\pi^n}=\pi\)
\(\Lim_{n\to \infty }\sqrt[n]{\pi^n}=\pi\)
no to, na mocy twierdzenia o trzech ciągach: \(\Lim_{n\to \infty } \sqrt[n]{2^n+e^n+\pi^n}=\pi\)

[pytający231]

Oblicz granicę ciągu:
1) \(\Lim_{n\to+ \infty }\) sin 2n - 2n / 3n+5

napisz to porządnie
Nie wiadomo czy jest tak:
\(\Lim_{n\to+ \infty }\) ( sin 2n - 2n) / (3n+5)
czy tak : \(\Lim_{n\to+ \infty }\) sin 2n - (2n / 3n+5)
a może jeszcze jakoś inaczej
2) też nieczytelne.

tylko kod ułamka mi nie działa poprawnie

[eresh]

jak to nie działa?
\frac{a}{b} =\(\frac{a}{b}\)

[pytający231]

Oblicz granicę ciągu:
3) \(\Lim_{n\to+ \infty } ( \sqrt{2^n+e^n+pi^n} )\)

przypuszczam , że miało być : \(\Lim_{n\to+ \infty } ( \sqrt[n]{2^n+e^n+pi^n} )\)
(jeśli jest tak jak napisałeś, to granica jest \(\infty\) i nie ma o czym gadać.)

\(\sqrt[n]{\pi^n}\le \sqrt[n]{2^n+e^n+\pi^n} \le \sqrt[n]{3\pi^n}\)
\(\Lim_{n\to \infty }\sqrt[n]{3\pi^n}=\pi\)
\(\Lim_{n\to \infty }\sqrt[n]{\pi^n}=\pi\)
no to, na mocy twierdzenia o trzech ciągach: \(\Lim_{n\to \infty } \sqrt[n]{2^n+e^n+\pi^n}=\pi\)

czemu 3pi do n skąd się to wzięło?

[pytający231]

Oblicz granicę ciągu:
1) \(\Lim_{n\to+ \infty }\) \(\frac{sin2n-2n}{3n+5}\)
2) \(\Lim_{n\to+ \infty }\) (-1)^n*\(\frac{n^2+2}{n+4}\)
3) \(\Lim_{n\to+ \infty } ( \sqrt{2^n+e^n+pi^n} )\)

[pytający231]

Oblicz granicę ciągu:
1) \(\Lim_{n\to+ \infty }\) sin 2n - 2n / 3n+5

napisz to porządnie
Nie wiadomo czy jest tak:
\(\Lim_{n\to+ \infty }\) ( sin 2n - 2n) / (3n+5)
czy tak : \(\Lim_{n\to+ \infty }\) sin 2n - (2n / 3n+5)
a może jeszcze jakoś inaczej
2) też nieczytelne.

poprawione

[radagast]

czemu 3pi do n skąd się to wzięło?

\(2<e<\pi\)
no to
\(2^n<e^n<\pi^n\)
no to
\(2^n+e^n+\pi^n<\pi^n+\pi^n+\pi^n=3\pi^n\)

[radagast]

Oblicz granicę ciągu:
1) \(\Lim_{n\to+ \infty }\) \(\frac{sin2n-2n}{3n+5}\)

\(\frac{-1-2n}{3n+5} \le \frac{sin2n-2n}{3n+5} \le \frac{1-2n}{3n+5}\)

tymczasem
\(\Lim_{n\to+ \infty }\) \(\frac{-1-2n}{3n+5}=- \frac{2}{3}\)
\(\Lim_{n\to+ \infty }\) \(\frac{1-2n}{3n+5}=- \frac{2}{3}\)
zatem , na mocy twierdzenia o trzech ciągach
\(\Lim_{n\to+ \infty }\) \(\frac{sin2n-2n}{3n+5}=- \frac{2}{3}\)

[pytający231]

czemu 3pi do n skąd się to wzięło?

\(2<e<\pi\)
no to
\(2^n<e^n<\pi^n\)
no to
\(2^n+e^n+\pi^n<\pi^n+\pi^n+\pi^n=3\pi^n\)

3 wiersz skąd pi do n razy 3 się wzięło?

[pytający231]

Oblicz granicę ciągu:
1) \(\Lim_{n\to+ \infty }\) \(\frac{sin2n-2n}{3n+5}\)

\(\frac{-1-2n}{3n+5} \le \frac{sin2n-2n}{3n+5} \le \frac{1-2n}{3n+5}\)

tymczasem
\(\Lim_{n\to+ \infty }\) \(\frac{-1-2n}{3n+5}=- \frac{2}{3}\)
\(\Lim_{n\to+ \infty }\) \(\frac{1-2n}{3n+5}=- \frac{2}{3}\)
zatem , na mocy twierdzenia o trzech ciągach
\(\Lim_{n\to+ \infty }\) \(\frac{sin2n-2n}{3n+5}=- \frac{2}{3}\)

czemu \(\frac{-1-2n}{3n+5}\) i czemu \(\frac{1-2n}{3n+5}\)

[radagast]

bo \(-1 \le \sin 2n \le 1\)
stąd \(-1-2n \le \sin 2n-2n \le 1-2n\)
stąd \(\frac{-1-2n}{3n+5} \le \frac{ \sin 2n-2n}{3n+5} \le \frac{1-2n}{3n+5}\)

[pytający231]

jeszcze 2 prosze poprawiłem zapis

[Galen]

2)
\((-1)^n\cdot n^2+ \frac{2}{n+4}= \begin{cases}-n^2+ \frac{2}{n+4}\;\;\;dla\;n\;nieparzystych\\n^2+ \frac{2}{n+4}\;\;dla\;\;n\;parzystych \end{cases}\)
Przechodząc do granicy mamy dwa podciągi rozbieżne :pierwszy do - nieskończoności,drugi do + nieskończoności.
Stąd wniosek,że ciąg nie ma granicy.