Obliczanie całek - wytłumaczenie

[piotrekq94]

Witam

Czy mógłby ktoś wytłumaczyć mi jak krok po kroku obliczać całki typu:

\(\int_{}^{} \frac{x+10}{x^2-4}dx\)

\(\int_{}^{} \frac{2x+3}{x^2-x}dx\)

\(\int_{}^{} (2x-1)e^xdx\)

[eresh]

Witam

Czy mógłby ktoś wytłumaczyć mi jak krok po kroku obliczać całki typu:

\(\int_{}^{} \frac{x+10}{x^2-4}dx\)

rozkład na ułamki proste:
\(\frac{x+10}{(x-2)(x+2)}=\frac{A}{x+2}+\frac{B}{x-2}\\
x+10=A(x-2)+B(x+2)\\
x+10=Ax-2A+Bx+2B\\
\begin{cases}A+B=1\\-2A+2B=10\end{cases}\\
\begin{cases}A=-2\\B=3\end{cases}\\
\frac{x+10}{(x-2)(x+2)}=\frac{-2}{x+2}+\frac{3}{x-2}\\
\int_{}^{} \frac{x+10}{x^2-4}dx=\int\frac{-2}{x+2}dx+\int\frac{3dx}{x-2}=-2|ln|x+2|+3\ln|x-2|+C\)

[eresh]

\(\int_{}^{} \frac{2x+3}{x^2-x}dx\)

rozkład:
\(\frac{2x+3}{x(x-1)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x-1}\\
2x+3=A(x-1)+Bx\\
2x+3=Ax-A+Bx\\
\begin{cases}A+B=2\\-A=3\end{cases}\\
\begin{cases}A=-3\\B=5\end{cases}\\
\int\frac{2x+3}{x^2-x}dx=\int\frac{-3dx}{x}+\int\frac{5dx}{x-1}=-3\ln|x|+5\ln|x-1|+C\)

[eresh]

\(\int_{}^{} (2x-1)e^xdx\)

całkowanie przez części:

\(\int(2x-1)e^x dx= \begin{bmatrix} u(x)=2x-1&u'(x)=2\\v'(x)=e^x&v(x)=e^x\end{bmatrix}=(2x-1)e^x-\int 2e^xdx=(2x-1)e^x-2e^x+C=e^x(2x-1-2)+C=e^x(2x-3)+C\)

[piotrekq94]

Dlaczego w pierwszym przykładzie:

\(\begin{cases}A+B=1\\-2A+2B=10\end{cases}\\
\begin{cases}A=-2\\B=3\end{cases}\\\)

A w drugim:

\(\begin{cases}A+B=2\\-A=3\end{cases}\\
\begin{cases}A=-3\\B=5\end{cases}\\\)

[eresh]

Dlaczego w pierwszym przykładzie:

\(\begin{cases}A+B=1\\-2A+2B=10\end{cases}\\
\begin{cases}A=-2\\B=3\end{cases}\\\)

\(x+10=Ax-2A+Bx+2B\\
1x+10=x(A+B)-2A+2B\\\)
porównujemy współczynniki:
\(1=A+B\\
10=-2A+2B\)

[piotrekq94]

Dlaczego \(A= -2\) a \(B=3\)

[eresh]

Dlaczego \(A= -2\) a \(B=3\)

to jest rozwiązanie tego układu równań