Dwa zadania dotyczące pochodnych

[kontik]

1. Znajdź równanie stycznej do wykresu funkcji \(f\) w punkcie \(P\), jeśli
a)
\(f(x)=x^2 +3x+5\) \(P(-1;3)\)
b)
\(f(x)=-x^2-2x+3\) \(P(-2;3)\)
c)
\(f(x)=2 \sqrt{x}\) \(P(4,y_0)\)
d)
\(f(x)=-3 \sqrt{x}\) \(P(9;y_0)\)
e)
\(f(x)=3x^3\) \(P(x_0;81)\)
f)
\(f(x)=-2x^5\) \(P(x_0;64)\)
g)
\(f(x)= \frac{x+1}{x-2}\) \(P(x_0;4)\)
h)
\(f(x)= \frac{2-x}{x-1}\) \(P(x_0;-4)\)
i)
\(f(x)= \frac{x^2}{1-x}\) \(P(x_0; \frac{1}{2} )\)
j)
\(f(x)= \frac{x^2}{x+2}\) \(P(x_0;-9)\)
k)
\(f(x)= \frac{x^2-4}{(x+1)^2}\) \(P(x_0; \frac{5}{4} )\)
l)
\(f(x)= \frac{x^2-6}{(x-2)^2}\) \(P(x_0; \frac{5}{2} )\)

2.
Wyznacz najmniejszą (\(m\)) i największą (\(M\)) wartość funkcji \(f\) w przedziale \(<a, b>\), jeśli:
a)
\(f(x)= \frac{x^2}{3+x}\) \(a=-1\) \(b=4\)
b)
\(f(x)= \frac{1-x^2}{4-x}\) \(a=6\) \(b=9\)
c)
\(f(x)=(x-4) \sqrt{x}\) \(a=0\) \(b=4\)
d)
\(f(x)=(2-x) \sqrt{x}\) \(a=0\) \(b=2\)
e)
\(f(x)= \frac{ \sqrt{x} }{x+2}\) \(a=0\) \(b=4\)
f)
\(f(x)= \frac{ \sqrt{x} }{x+9}\) \(a=1\) \(b=16\)

[eresh]

1. Znajdź równanie stycznej do wykresu funkcji \(f\) w punkcie \(P\), jeśli
a)
\(f(x)=x^2 +3x+5\) \(P(-1;3)\)

\(f'(x)=2x+3\\
f'(-1)=-2+3=1\\
y=f'(-1)(x+1)+f(-1)\\
y=x+1+3\\
y=x+4\)

[eresh]

1. Znajdź równanie stycznej do wykresu funkcji \(f\) w punkcie \(P\), jeśli
b)
\(f(x)=-x^2-2x+3\) \(P(-2;3)\)

\(f'(x)=-2x-2\\
f'(-2)=4-2=2\\
y=2(x+2)+3\\
y=2x+7\)

[eresh]

1. Znajdź równanie stycznej do wykresu funkcji \(f\) w punkcie \(P\), jeśli
c)
\(f(x)=2 \sqrt{x}\) \(P(4,y_0)\)

\(f'(x)=\frac{2}{2\sqrt{x}}=\frac{1}{\sqrt{x}}\\
f'(4)=\frac{1}{2}\\
f(4)=2\sqrt{4}=4\\
y=0,5(x-4)+4\\
y=0,5x+2\)

[eresh]

1. Znajdź równanie stycznej do wykresu funkcji \(f\) w punkcie \(P\), jeśli
d)
\(f(x)=-3 \sqrt{x}\) \(P(9;y_0)\)

\(f'(x)=\frac{-3}{2\sqrt{x}}\\
f'(9)=\frac{-3}{2\sqrt{9}}=-\frac{1}{2}\\
f(9)=-9\\
y=-\frac{1}{2}(x-9)-9\\
y=-0,5x-4,5\)

[eresh]

1. Znajdź równanie stycznej do wykresu funkcji \(f\) w punkcie \(P\), jeśli

e)
\(f(x)=3x^3\) \(P(x_0;81)\)

\(f(x_0)=81\\
3x_0^3=81\\
x_0=3\\
f'(x)=9x^2\\
f'(3)=81\\
y=81(x-3)+81\\
y=81x-162\)

[eresh]

1. Znajdź równanie stycznej do wykresu funkcji \(f\) w punkcie \(P\), jeśli
g)
\(f(x)= \frac{x+1}{x-2}\) \(P(x_0;4)\)

\(\frac{x_0+1}{x_0-2}=4\\
x_0+1=4x_0-8\\
-3x_0=-9\\
x_0=3\\
P(3,4)\\
f'(x)=\frac{x-2-x-1}{(x-2)^2}=\frac{-3}{(x-2)^2}\\
f'(3)=-3\\
y=-3(x-3)+4\\
y=-3x+13\)

[eresh]

1. Znajdź równanie stycznej do wykresu funkcji \(f\) w punkcie \(P\), jeśli
f)
\(f(x)=-2x^5\) \(P(x_0;64)\)

\(-2x_0^5=64\\
x_0=-2\\
f'(x)=-10x^4\\
f'(-2)=-160\\
y=-160(x+2)+64\\
y=-160x-256\)

[eresh]

1. Znajdź równanie stycznej do wykresu funkcji \(f\) w punkcie \(P\), jeśli
h)
\(f(x)= \frac{2-x}{x-1}\) \(P(x_0;-4)\)

\(\frac{2-x_0}{x_0-1}=-4\\
2-x_0=-4x_0+4\\
3x_0=2\\
x_0=\frac{2}{3}\\
P(\frac{2}{3},-4)\\
f'(x)=\frac{-x+1-2+x}{(x-1)^2}=\frac{-1}{(x-1)^2}\\
f'(\frac{2}{3})=-9\\
y=-9(x-\frac{2}{3})-4\\
y=-9x+2\)

[Galen]

Zad.1)
i)
\(f(x)=\frac{x}{1-x}\;\;\;\;\;i\;\;\;\;f(x)= \frac{1}{2}\\ \frac{x}{1-x}= \frac{1}{2}\\2x=1-x\\x= \frac{1}{3}\\P=( \frac{1}{3}; \frac{1}{2})\\f'(x)= \frac{1}{(1-x)^2}\\f'( \frac{1}{3})= \frac{9}{4}\\styczna\\y- \frac{1}{2}= \frac{9}{4}(x- \frac{1}{3})\\y= \frac{9}{4}x- \frac{1}{4}\)

[Galen]

Zad.1
j)
\(f(x)= \frac{x^2}{x+2}\\f(x)=-9\;\;\;czyli\;\;\; \frac{x^2}{x+2}=-9\\x^2=-9x-18\\x^2+9x+18=0\\x_1=-6\;\;\;\;i\;\;\;x_2=-3\)
Dwa punkty \(P=(-6;-9)\;\;\;\;\;i\;\;\;\;Q=(-3;-9)\)
\(f'(x)= \frac{2x(x+2)-x^2 \cdot 1}{(x+2)^2}= \frac{x^2+4x}{(x+2)^2}\)
\(f'(-6)= \frac{36-24}{(-4)^2}= \frac{3}{4}\\Styczna\;w\;P\\y+9= \frac{3}{4}(x+6)\\y= \frac{3}{4}x-4 \frac{1}{2}\)

\(Q\\
f'(-3)= \frac{9-12}{(-3+2)^2}=-3\\Styczna\\y+9=-3(x+3)\\y=-3x-18\)

[Galen]

Zad.1
k)
\(f(x)= \frac{x^2-4}{(x+1)^2}\;\;\;\;\;\;i\;\;\;\;y= \frac{5}{4}\\ \frac{x^2-4}{x^2+2x+1}= \frac{5}{4}\\
5x^2+10x+5=4x^2-16\\x^2+10x+21=0\\x_1=-7\\x_2=-3\\Dwa\;punkty\\P=(-7; \frac{5}{4})\;\;\;i\;\;\;Q=(-3; \frac{5}{4})\)
\(f'(x)= \frac{2x(x^2+2x+1)-(x^2-4)(2x+2)}{(x+1)^2}= \frac{2x^2+10x+8}{(x+1)^4}= \frac{2(x+4)(x+1)}{(x+1)^4}=\\= \frac{2(x+4)}{(x+1)^3}\\f'(-7)= \frac{-6}{-6\cdot 36}= \frac{1}{36}\\Styczna\\y- \frac{5}{4}= \frac{1}{36}(x+7)\\y= \frac{1}{36}x+ \frac{13}{9}\)
Podobnie jest ze styczną w punkcie Q
\(f(-3)= -\frac{1}{4}\\ y- \frac{5}{4}=- \frac{1}{4}(x+4) \\y=- \frac{1}{4}x+ \frac{1}{2}\)

[Galen]

Zad.2
Rozpiszę jeden przykład i pozostałe zrobisz tak samo.
a)
Wyznacz ekstrema funkcji i porównaj z wartościami na końcach przedziału.
\(f(x)= \frac{x^2}{3+x}\;\;\;\;\;i\;\;\;x\neq -3\)
\(f'(x)= \frac{2x(3+x)-x^2\cdot 1}{(3+x)^2}= \frac{x^2+6x}{(3+x)^2}\)
\(f'(x)=0\;\;\;gdy\;\;\;x(x+6)=0\\x=0\;\;\;lub\;\;\;x=-6\)
W danym przedziale jest liczba x=0
Ustalasz (po analizie znaków pochodnej),że w tym punkcie funkcja osiąga minimum .
\(f_{min}=f(0)=0\\f(-1)= \frac{1}{2}\\f(4)= \frac{16}{7}=2 \frac{2}{7}\)
Odp.
\(m=0\\M=2 \frac{2}{7}\)