wielomian

[mela1015]

Poniżej przedstawiono fragment wykresu funkcji y = W(x), gdzie W(x) jest wielomianem trzeciego
stopnia. (MIEJSCA ZEROWE JAK NA WYKRESIE 2 i 5)
a) Udowodnij, że wielomian W(x) jest podzielny przez trójmian \(x^2 – 7x + 10\)
b) Zapisz wielomian W(x) w postaci ogólnej, wiedząc, że liczba 1 jest rozwiązaniem równania
W(x) = G(x), gdzie \(G(x) = x^3 + x\)

[eresh]

Poniżej przedstawiono fragment wykresu funkcji y = W(x), gdzie W(x) jest wielomianem trzeciego
stopnia. (MIEJSCA ZEROWE JAK NA WYKRESIE 2 i 5)
a) Udowodnij, że wielomian W(x) jest podzielny przez trójmian \(x^2 – 7x + 10\)

\(W(2)=0\\
W(5)=0\\
W(x)=(x^2-7x+10)P(x)+R(x)\\
W(x)=(x-2)(x-5)P(x)+ax+b\\
W(2)=(2-2)(2-5)P(2)+2a+b=0\\
W(5)=(5-2)(5-5)P(5)+5a+b=0\\
\begin{cases}2a+b=0\\5a+b=0\end{cases}\\
\begin{cases}a=0\\b=0\end{cases}\\
R(x)=0\)
zatem wielomian jest podzielny przez trójmian

[jola]

z wykresu widać , że liczba 2 jest pierwiastkiem dwukrotnym , a liczba 5 pojedynczym , czyli postać iloczynowa wielomianu stopnia trzeciego jest następująca
\(w(x) = a (x-2)^2(x-5)\) , gdzie \(a<0\) .
przekształcam postać wielomianu \(w(x) =a (x-2)(x-2(x-5)=(x-2)(x^2-7x+10)\)
Zatem wielomian w(x) jest podzielny przez trójmian \(x^2-7x+10\)
ad b)
rozwiązaniem równania
\(w(x) = x^3+x\)
ma być liczba 1 , czyli
\(w(1)=1^3+1=2\)
\(a(1-2)^2(1-5)-2\)
\(-4a=2\)
\(a=- \frac{1}{2}\)