kilka granic ciągów

[piwowarczyk85]

Hej
czy moglibyście mi pomóc z takimi oto przykładami:

1. \(\lim_{n\to \infty } \frac{n}{n+ \sqrt[3]{1+n^{3}} }+ \frac{sin(2n)}{n}\)

2. \(\lim_{n\to \infty } arcsin( \sqrt{n+1} - \sqrt{n})\)

3. \(\lim_{n\to \infty } \frac{ln(3^{n}+6^{n}+2^{n})}{n}+ \frac{arctgn!}{n^{2}}\)

4. \(\lim_{n\to \infty } arctg(6- \sqrt{5 \sqrt{5} \cdot \sqrt[4]{5} \cdot ... \cdot \sqrt[2^{n}]{5} } )\)

5. \(\lim_{n\to \infty } \frac{2^{n} \cdot 3^{2n}}{n!}\)


Pozostanę dozgonnie wdzięczny za pomoc.

[escher]

Aby uprościć te granice warto w 1 i 3 skorzystać z twierdzenia o trzech ciągach
1. \(\frac{n}{n+ \sqrt[3]{1+n^{3}} }- \frac{1}{n} \le \frac{n}{n+ \sqrt[3]{1+n^{3}} }+ \frac{sin(2n)}{n}\frac{n}{n+ \sqrt[3]{1+n^{3}} }+ \frac{1}{n}\)

teraz pozostaje pokazać, że z obu stron mamy granicę 1.
\(\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n+ \sqrt[3]{1+n^{3}} }=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{1+ \sqrt[3]{\frac{1}{n^3}+1}} = 1\)

2. \(\lim_{n\to \infty } arcsin( \sqrt{n+1} - \sqrt{n})=\lim_{n\to \infty } arcsin( \frac{n+1-n}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}})= arcsin( 0 ) = 0\)

3. \(\ln 6=\frac{ln(6^{n})}{n}+ 0 \le \frac{ln(3^{n}+6^{n}+2^{n})}{n}+ \frac{arctgn!}{n^{2}} \le \frac{ln(6^{n}+6^{n}+6^{n})}{n}+ \frac{\frac{\pi}{2}}{n^{2}} = \ln 6+\frac{\ln 3}{n} + \frac{\pi}{2n^2} \to \ln 6\)

4. \(\lim_{n\to \infty } arctg(6- \sqrt{5 \sqrt{5} \cdot \sqrt[4]{5} \cdot ... \cdot \sqrt[2^{n}]{5} } )
\lim_{n\to \infty } arctg(6- 5^{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+ ... + \frac{ 1}{2^n}}/0 =\lim_{n\to \infty } arctg(6- 5^{1- \frac{ 1}{2^n}}) = arctg (6-5^1)=\frac{\pi}{4}\)

5. \(\lim_{n\to \infty } \frac{2^{n} \cdot 3^{2n}}{n!} = 0\), bo szereg \(\sum_{n=1}^\infty \frac{2^{n} \cdot 3^{2n}}{n!}\) jest zbieżny z kryterium D'Alemberta.

[piwowarczyk85]

Czy te zadania mają w ogóle szansę aby znaleźć się w bazie zadań?

[escher]

zapewne jakieś szanse mają, ale ktoś odpowiedzialny za wpisywanie ich do bazy musi to przejrzeć. Pewnie wtedy będzie potrzebne trochę szerzej rozpisane rozwiązanie każdego z nich.
A tak właściwie dlaczego zależy ci by się w bazie znalazły? Bo większości ludzi na forum zazwyczaj zależy na poznaniu rozwiązania. Niekoniecznie na umieszczeniu zadań w bazie.

Z tego co słyszałem, to jest rozważana możliwość udostępnienia szerszej grupie osób (wszystkim?) dopisywania zadań do bazy, ale trzeba zrobić to tak, by i tak były weryfikowane. Gdyby tak nie było szybko mielibyśmy śmietnik, a nie zbiór zadań.
escher

[piwowarczyk85]

Jeżeli chodzi o mój ostatni post to po prostu wiem jak to miło i fajnie jak można sobie podglądnąć rozwiązanie zadania dlatego mi zależy aby inni też w przyszłości korzystali.
A co do zadania:
Granica w 1. oczywiście równa jest 1/2 a nie 1

Co do zadania 3 to skąd ciąg ograniczający z lewej \(\frac{ln(6^{n})}{n}=ln6\)? Oraz skąd w ciągu ograniczającym od góry wyrażenie \(ln6+ \frac{ln3}{n}\)?

W 4 w jaki sposób zniknął pierwiastek. Mogę prosić o dokładniejsze rozpisanie?

Pozdro

[escher]

Jeżeli chodzi o mój ostatni post to po prostu wiem jak to miło i fajnie jak można sobie podglądnąć rozwiązanie zadania dlatego mi zależy aby inni też w przyszłości korzystali.
A co do zadania:
Granica w 1. oczywiście równa jest 1/2 a nie 1

oczywiście, przepraszam

Co do zadania 3 to skąd ciąg ograniczający z lewej \(\frac{ln(6^{n})}{n}=ln6\)? Oraz skąd w ciągu ograniczającym od góry wyrażenie \(ln6+ \frac{ln3}{n}\)?

Z własności logarytmu wyciągamy n przed logarytm i skracamy,
Z prawej strony najpierw powiększamy \(2^n\) i \(3^n\) do \(6^n\), a potem robimy to co z lewej strony, czyli korzystamy z własności logarytmu.

W 4 w jaki sposób zniknął pierwiastek. Mogę prosić o dokładniejsze rozpisanie?
Pozdro

Wszystkie pierwiastki zamieniamy na wykładniki wymierne. Wyciąganie pierwiastka z iloczynu potęg, to po prostu mnożenie każdego wykładnika przez 1/2.

Mam nadzieję, że to rozjaśnia przykłady. Ale teraz rzeczywiście to trzeba trochę lepiej zredagować do bazy zadań
Pozdr