Wzory Vieta
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Wzory Vieta
Witam Wszystkich pilnie potrzebuje rozwiązanie tego zadania mam nadzieje że ktoś mi pomoże
wyznacz wszystkie wartości parametru m , dla których suma kwadratów dwóch różnic pierwiastków rzeczywistych\(x_1,x_2,\) równania \(x^2 + (m-3)*x - m =0\) jest najmniejsza.Prosze o pomoc
wyznacz wszystkie wartości parametru m , dla których suma kwadratów dwóch różnic pierwiastków rzeczywistych\(x_1,x_2,\) równania \(x^2 + (m-3)*x - m =0\) jest najmniejsza.Prosze o pomoc
1.
\(x^2+(m-3)x-m=0\)
\(\Delta=(m-3)^2+4m=m^2-6m+9+4m=m^2-2m+9\\\Delta_1=4-36<0\)
Dla każdej rzeczywistej liczby m wyróżnik jest dodatni, czyli to równanie ma 2 różne pierwiastki rzeczywiste dla każdej rzeczywistej liczby m.
\(x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2\)
\(x_1+x_2=-m+3\\x_1x_2=-m\)
\(x_1^2+x_2^2=(-m+3)^2+2m=m^2-6m+9+2m=m^2-4m+9\)
\(f(m)=m^2-4m+9\)
To funkcja kwadratowa, której wykresem jest parabola z ramionami skierowanymi w górę.
Ma wartość najmniejszą w wierzchołku.
\(m_w=\frac{4}{2}=2\)
Suma kwadratów dwóch różnych pierwiastków danego równania jest najmniejsza dla m=2.
\(x^2+(m-3)x-m=0\)
\(\Delta=(m-3)^2+4m=m^2-6m+9+4m=m^2-2m+9\\\Delta_1=4-36<0\)
Dla każdej rzeczywistej liczby m wyróżnik jest dodatni, czyli to równanie ma 2 różne pierwiastki rzeczywiste dla każdej rzeczywistej liczby m.
\(x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2\)
\(x_1+x_2=-m+3\\x_1x_2=-m\)
\(x_1^2+x_2^2=(-m+3)^2+2m=m^2-6m+9+2m=m^2-4m+9\)
\(f(m)=m^2-4m+9\)
To funkcja kwadratowa, której wykresem jest parabola z ramionami skierowanymi w górę.
Ma wartość najmniejszą w wierzchołku.
\(m_w=\frac{4}{2}=2\)
Suma kwadratów dwóch różnych pierwiastków danego równania jest najmniejsza dla m=2.
2.
\(x^2+mx+2m=0\)
\(\Delta=m^2-8m>0\\m(m-8)>0\\m\in(-\infty;\ 0)\ \cup\ (8;\ \infty)\)
\((x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2\)
\(x_1+x_2=-m\\x_1x_2=2m\)
\((x_1-x_2)^2=(-m)^2+4m=m^2+4m\)
\(m^2+4m<20\\\Delta_1=16+80=96\\m_1=\frac{-4-4\sqrt{6}}{2}=-2\sqrt{6}-2\ \vee\ m_2=\frac{-4+4\sqrt{6}}{2}=2\sqrt{6}-2\\m\in(-2\sqrt{6}-2;\ 2\sqrt{6}-2)\)
\(m\in(-2\sqrt{6}-2;\ 0)\)
\(x^2+mx+2m=0\)
\(\Delta=m^2-8m>0\\m(m-8)>0\\m\in(-\infty;\ 0)\ \cup\ (8;\ \infty)\)
\((x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2\)
\(x_1+x_2=-m\\x_1x_2=2m\)
\((x_1-x_2)^2=(-m)^2+4m=m^2+4m\)
\(m^2+4m<20\\\Delta_1=16+80=96\\m_1=\frac{-4-4\sqrt{6}}{2}=-2\sqrt{6}-2\ \vee\ m_2=\frac{-4+4\sqrt{6}}{2}=2\sqrt{6}-2\\m\in(-2\sqrt{6}-2;\ 2\sqrt{6}-2)\)
\(m\in(-2\sqrt{6}-2;\ 0)\)
- eresh
- Guru
- Posty: 16825
- Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
- Podziękowania: 6 razy
- Otrzymane podziękowania: 10381 razy
- Płeć:
mamy sprawdzić dla jakich m \(\Delta>0\\\)
w tym celu rozwiązujemy nierówność
\(m^2-2m+9>0\\
\Delta_m=4-4\cdot 9=4-36<0\)
zbiorem rozwiązań tej nierówności jest zbiór liczb rzeczywistych, czyli delta głównego równania jest zawsze dodatnia, ma więc ono zawsze dwa rozwiązania
w tym celu rozwiązujemy nierówność
\(m^2-2m+9>0\\
\Delta_m=4-4\cdot 9=4-36<0\)
zbiorem rozwiązań tej nierówności jest zbiór liczb rzeczywistych, czyli delta głównego równania jest zawsze dodatnia, ma więc ono zawsze dwa rozwiązania
Podziękuj osobie, która rozwiązała Ci zadanie klikając na ikonkę
dobrze rozumiem ma jeszcze prośbę zrobiłąm zadanie ale czegoś brakuje i nie wiem co dalej;)
treść
wyznacz wszystkie wartości parametru k , dla których równanie \(x^2 -7*k*x+2,4*k=0\) ma dwa pierwiastki , których suma kwadratów jest równa 1.
rozwiązanie
\(x^2 -7*k*x+2,4*k=0\)
\(a różne od 0 bo 1 różne od 0\)
\(x_1^2+x_2^2=1\)
\(x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2*x_1*x_2=(7k)^2 - 2*2,4*k=49*k^2-4,8k\)
\(49*k^2-4,8k=1\)
\(49*k^2-4,8k-1=0\)
\(\Delta =(-4,8)^2-4*49*(-1)=219,04\)
\(x_1= \frac{4,8-14,8}{2*49} =- \frac{5}{49}\)
\(x_2= \frac{4,8+14,8}{98}= \frac{1}{5}\)
treść
wyznacz wszystkie wartości parametru k , dla których równanie \(x^2 -7*k*x+2,4*k=0\) ma dwa pierwiastki , których suma kwadratów jest równa 1.
rozwiązanie
\(x^2 -7*k*x+2,4*k=0\)
\(a różne od 0 bo 1 różne od 0\)
\(x_1^2+x_2^2=1\)
\(x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2*x_1*x_2=(7k)^2 - 2*2,4*k=49*k^2-4,8k\)
\(49*k^2-4,8k=1\)
\(49*k^2-4,8k-1=0\)
\(\Delta =(-4,8)^2-4*49*(-1)=219,04\)
\(x_1= \frac{4,8-14,8}{2*49} =- \frac{5}{49}\)
\(x_2= \frac{4,8+14,8}{98}= \frac{1}{5}\)
Re:
Jest dobrze, tylko najpierw trzeba sobie zapewnić, że te dwa pierwiastki są, czyli policzyć, jaki warunek spełniać musi liczba k, żebyMagda135 pisze:dobrze rozumiem ma jeszcze prośbę zrobiłąm zadanie ale czegoś brakuje i nie wiem co dalej;)
treść
wyznacz wszystkie wartości parametru k , dla których równanie \(x^2 -7*k*x+2,4*k=0\) ma dwa pierwiastki , których suma kwadratów jest równa 1.
rozwiązanie
\(x^2 -7*k*x+2,4*k=0\)
\(a różne od 0 bo 1 różne od 0\)
\(x_1^2+x_2^2=1\)
\(x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2*x_1*x_2=(7k)^2 - 2*2,4*k=49*k^2-4,8k\)
\(49*k^2-4,8k=1\)
\(49*k^2-4,8k-1=0\)
\(\Delta =(-4,8)^2-4*49*(-1)=219,04\)
\(x_1= \frac{4,8-14,8}{2*49} =- \frac{5}{49}\)
\(x_2= \frac{4,8+14,8}{98}= \frac{1}{5}\)
\(\Delta=49k^2-9,6k>0\\k<0\ \ lub\ \ k>\frac{48}{245}\)
ale jest dobrze, bo
\(k_1=-\frac{5}{49}<0\ \ i\ \ k_2=\frac{1}{5}>\frac{48}{245}\)
Dziękuje.Mam jeszcze pytanie do ostatniego już zadania
Wyznacz wszystkie wartości parametrru k , dla których równanie \(x^2+(k+3)*x+2=0\) ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste x_1,x_2 takie że \(\frac{1}{x_1^2}+ \frac{1}{x_2^2} \ge k^2+5*k-3\)
i ja zrobiłam znowu do pewnego momentu i utknęłam
\(x^2+(k+3)*x+2=0\) ma różne rozwiązania gdy \Delta >0
\(\Delta =(k+3)^2 - 4*1*2=k^2+6*k+9-1=k^2+6*k+1>0\)
\(\Delta _k=36-4*1*1=32\)
\(x_1= \frac{-6-4 \sqrt{2} }{2}=-3-2 \sqrt{2}\)
\(x_2=-3+2 \sqrt{2}\)
\(x_1+x_2=-6\)
\(x_1*x_2=1\)
\(x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2*x_1x_2=36-2=34\)
Wyznacz wszystkie wartości parametrru k , dla których równanie \(x^2+(k+3)*x+2=0\) ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste x_1,x_2 takie że \(\frac{1}{x_1^2}+ \frac{1}{x_2^2} \ge k^2+5*k-3\)
i ja zrobiłam znowu do pewnego momentu i utknęłam
\(x^2+(k+3)*x+2=0\) ma różne rozwiązania gdy \Delta >0
\(\Delta =(k+3)^2 - 4*1*2=k^2+6*k+9-1=k^2+6*k+1>0\)
\(\Delta _k=36-4*1*1=32\)
\(x_1= \frac{-6-4 \sqrt{2} }{2}=-3-2 \sqrt{2}\)
\(x_2=-3+2 \sqrt{2}\)
\(x_1+x_2=-6\)
\(x_1*x_2=1\)
\(x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2*x_1x_2=36-2=34\)
\(x^2+(k+3)x+2=0\)
Równanie ma 2 różne pierwiastki, gdy:
\(\Delta>0\\(k+3)^2-8>0\\k^2+6k+1>0\\\Delta_1=36-4=32\\k_1=\frac{-6-4\sqrt{2}}{2}=-3-2\sqrt{2}\ \vee\ k_2=-3+2\sqrt{2}\\k\in(-\infty;\ -3-2\sqrt{2})\ \cup\ (-3+2\sqrt{2};\ \infty)\)
\(\frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{x_2^2}=\frac{x_1^2+x_2^2}{x_1^2x_2^2}=\frac{(x_1+x_2)^2-2x_1x_2}{(x_1x_2)^2}\\x_1+x_2=-k-3\\x_1x_2=2\\\frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{x_2^2}=\frac{(-k-3)^2-4}{4}=\frac{k^2+3k+5}{4}\)
\(\frac{k^2+6k+5}{4}\ge k^2+5k-3\\k^2+6k+5\ge4k^2+20k-12\\3k^2+14k-17\le0\\\Delta_2=196+204=400\\k'=\frac{-14-20}{6}=-\frac{17}{3}\ \vee\ k"=\frac{-14+20}{6}=1\\k\in<-\frac{17}{3};\ 1>\)
Biorąc pod uwagę pierwszy warunek:
\(k\in(-3-2\sqrt{2};\ 1>\)
Równanie ma 2 różne pierwiastki, gdy:
\(\Delta>0\\(k+3)^2-8>0\\k^2+6k+1>0\\\Delta_1=36-4=32\\k_1=\frac{-6-4\sqrt{2}}{2}=-3-2\sqrt{2}\ \vee\ k_2=-3+2\sqrt{2}\\k\in(-\infty;\ -3-2\sqrt{2})\ \cup\ (-3+2\sqrt{2};\ \infty)\)
\(\frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{x_2^2}=\frac{x_1^2+x_2^2}{x_1^2x_2^2}=\frac{(x_1+x_2)^2-2x_1x_2}{(x_1x_2)^2}\\x_1+x_2=-k-3\\x_1x_2=2\\\frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{x_2^2}=\frac{(-k-3)^2-4}{4}=\frac{k^2+3k+5}{4}\)
\(\frac{k^2+6k+5}{4}\ge k^2+5k-3\\k^2+6k+5\ge4k^2+20k-12\\3k^2+14k-17\le0\\\Delta_2=196+204=400\\k'=\frac{-14-20}{6}=-\frac{17}{3}\ \vee\ k"=\frac{-14+20}{6}=1\\k\in<-\frac{17}{3};\ 1>\)
Biorąc pod uwagę pierwszy warunek:
\(k\in(-3-2\sqrt{2};\ 1>\)